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初中数学圆五个重要考点

英才学习2年前 (2021-12-02)初中数学582

知识点一：圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。现在课本中主要介绍的为圆心角、弦和弧三者之间的关系，其实弦心距也是相等的，可以通过全等三角形进行证明。

我们可将之进行推广，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

例题1：如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC．求证：AE=CE．

解法一：由AB=CD知弧AB＝弧CD，同时减去弧AC得到弧AD=弧BC，同圆中同弧所对的弦相等得AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠A=∠C通过“ASA”可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．

解法二：根据我们上一篇讲的连接法构造全等三角形，可连接线段AC或BD，证明△ABC≌△CDA（SSS），得∠BAC=∠ACD，根据等角对等边得AE=CE．

本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等

知识点二：圆心角与圆周角的关系

同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，直径所对的圆周角为直角，90°圆周角所对的弦为直径。

例题2：如图，AB是⊙O的直径，D是弧BC的中点，弦DH⊥AB于点E，交弦BC于点F，AD交BC于点G，连接BD，求证：F是BG的中点．

分析：通过垂径定理、弧与圆心角、圆周角的关系证明∠CBD=∠HDB，通过等角对等边得到FB=FD，再证明∠FDG=∠FGD，得到FD=FG即可解决问题．

因此，圆周角与同弧所对的圆心角相关，那么与之对应的弦、弦心距也可以得到对应关系。

知识点三：垂径定理及其推论

垂径定理及其推论是本章的重点，垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。当然，垂径定理的推论不仅仅只有这一个，知识点一种的弦、弧、圆心角三者之间为“知一推二”，而在垂径定理中为“知二推三”。其它推论课本中没有明确给出，我们在解题时可通过全等进行证明。

例题3：⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，且∠DEB=60°，求CD的长．

分析：作OP⊥CD于P，连接OD，根据正弦的定义求出OP，根据勾股定理求出PD，根据垂径定理计算。

垂径定理是本章的重点，也是考试的重点，需要熟练掌握。

知识点四：点与圆、直线与圆的位置关系及其相关数量关系

点与圆的位置关系有：在圆外、在圆上、在圆内，比较点到圆心的距离与半径的大小关系；直线与圆的位置关系有：相离、相切、相交，比较圆心到直线的距离与半径的大小关系。证明切线常用的思路有：（1）作半径，证垂直；（2）作垂直，证半径，遇到切线时常用的辅助线为：连接圆心与切点，构造直角三角形。

例题4：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，弧CD=弧BD，过点D作EF⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．求证：直线EF是⊙O的切线

分析：根据题目的特点，选择“作半径，证垂直”。连接AD，OD，由CD=BD，得∠DAB=∠DAC，根据等腰三角形的性质得到∠DAO=∠ODA，等量代换得到∠DAC=∠ODA，推出AE∥OD，于是得到结论。

直线与圆的位置关系也是本章的重点，特别是切线的性质定理和判定定理。

知识点五：正多边形、弧长公式、扇形的面积公式

熟悉正多边形的有关概念，如半径、边心距、中心角等，熟悉弧长公式，扇形的面积公式等，会熟练的计算。

例题5：如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．

分析：（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，根据直角三角形的性质即可得到结论．

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