导数求极值点

导数求极值

导数值=瞬时变化率=该点切线的斜率

函数的最大值与极值的区别

极大(小)值点=横坐标上的某一点

极大(小)值=点对应纵坐标上的值

一、函数切线与斜率

1.割线的斜率

在函数图像上，任意的2点的连线叫做割线。

割线的斜率是一个比值，两点的高度差值/两点的宽度差值。

2.两点割线的极限就是其中一点的切线

A点的切线，是由附近的任意一点(设为B点)无限逼近于A点处的另一点形成

设无限逼近于A点但不等于A点的极限点设为C点

则A点的切线斜率： k=(y_c-y_a)/(x_c-x_a)

则A点的切线方程： y_c-y_a=k.(x_c-x_a)

实际上，求某点切线的斜率值也就是求点的导数值。

3.切线的斜率与角度

任意1点的切线与X轴相交或平行形成的角，假设叫做切线角

则可知：当k>0时(导函数>0)，则切线角<90°

则可知：当k<0时(导函数<0)，则切线角>90°

则可知：当k=0时(导函数=0)，则切线角=180°

注意：切线角不存在=90°的情况，如果存在那就不是函数图像

切线的斜率=切线方程中的 k  值

切线的斜率=导函数中代入某点求到的导数值

切线的斜率=该点的瞬时变化率

二、函数的最值与极值 

最值和极值，是两个不同的概念

最值，指在函数的定义域内对应的最大值或最小值

也就是，一个函数中的最大值或最小值

或者说：在该函数中，没有其他值比这个值更大或更小

极值，指在函数的规定的定义域内对应的最大值或最小值

极大(小)值点，指定义域内的某个 x  的值，也就是横坐标的值

极大值、极小值，指极大(小)值点对应的 y 值，也就是对应纵坐标上的值

并且一个函数的最大值、最小值，可能是某个定义域内的极大值，也可能不是。

总结一下：

极大(小)值点：定义域内横坐标上的一个点

极大(小)值：横坐标上的点对应纵坐标上的值

特别注意：有些函数中可能不存在极大(小)点值

极值存在的条件：

1.该值对应的X轴上的点，该点的切线斜率=该点的导数值=0

2.任意一个极值的两侧，如果一侧是增长趋势，那么另一侧必然是下降趋势

三、导数求函数极值的步骤

求函数的极值点通常涉及以下步骤：

1.求导数。首先对函数进行求导，得到导函数。

2.找零点。然后令导函数等于零，解出方程得到可能的零点，这些点是函数可能的极值点（驻点）。需要注意的是，导数为零的点不一定是极值点，例如函数f(x)=x3的导函数f'(x)=1，在x=0处为零，但并不是极值点。

3.判断极值类型。检查导函数在这些点附近的符号变化，以确定极值类型。如果在一个零点的左侧导数大于零（函数增），右侧导数小于零（函数减），那么这个零点对应的函数值就是极大值；如果左侧导数小于零（函数减），右侧导数大于零（函数增），则这个零点对应的函数值就是极小值。

4.二阶导数测试。计算导数的导数（二阶导数），并检查二阶导数在极值点的值。如果二阶导数大于零，则原函数在该点为最小值；如果二阶导数小于零，则原函数在该点为极大值。

5.验证。最后，将求得的极值点代入原函数和导函数，验证它们是否满足极值点的条件。