平面直角坐标系相关知识点

一、定义

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中：水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

平面直角坐标系有四要素

1.在同一个平面

2.两条数轴

3.数轴互相垂直

4.有公共原点

二、点的坐标的表示

在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序数对（即点的坐标(coordinates)）与它对应；反过来，对于任意一个有序数对，都有平面上唯一的一点与它对应。

对于平面内任意一点C，过点C分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序数对(ordered pair)（a,b）叫做点C的坐标。一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

注意：

特殊位置的点的坐标的特点：

1.点P(x,y)在x轴上＜=＞y=0，x为任意实数；点P(x,y)在y轴上＜=＞x=0，y为任意实数；点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上＜=＞x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）

2.在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。

3.点到轴及原点的距离：

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

（1）点P(x,y)到x轴的距离等于|y|

（2）点P(x,y)到y轴的距离等于|x|

（3）点P(x,y)到原点的距离等于x的平方加y的平方的算术平方根

4.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上＜=＞x与y相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上＜=＞x与y互为相反数

三、象限的值规律

四个象限分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限（按逆时针方向），具体各象限的值规律如下：

点P(x,y)在第一象限＜=＞x＞0，y＞0

点P(x,y)在第二象限＜=＞x＜0，y＞0

点P(x,y)在第三象限＜=＞x＜0，y＜0

点P(x,y)在第四象限＜=＞x＞0，y＜0

四、点坐标变换

1.平移

点的平移有四种，分别是向上向下和向左向右，

假设某点A坐标是(x,y)，平移的数值a是正数

（1）向坐平移，坐标由（x,y)变成（x-a,y)

（2）向右平移，坐标由（x,y)变成（x+a,y)

（3）向上平移，坐标由（x,y）变成（x,y+a)

（4）向下平移，坐标由（x,y）变成（x,y-a）

平移规律：左加右减，上加下减

同理：图形的平移与坐标的变化规律。　

1.图形向右(或左)平移a个单位，每个点的坐标就由（x,y）变为(x±a, y).

2.图形向上(或下)平移b个单位, 每个点的坐标就由(x, y) 变为(x,y±b).

2.对称

假设某点A坐标是(x,y)

1.关于x轴成轴对称的点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数。点A关于x轴成轴对称的点的坐标(x,-y)。

2.关于y轴成轴对称的点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。点A关于y轴成轴对称的点的坐标(-x,y)。

3.关于原点成中心对称的点的坐标,横坐标与横坐标互为相反数,纵坐标与纵坐标互为相反数。点A关于y轴成轴对称的点的坐标(-x,-y)。