轮子悖论  - 亚里士多德提出的轮子悖论

轮子悖论，也称作“车轮悖论”，出自古希腊著作《机械》（Mechanica），提出者为古希腊哲学家、科学家、教育家亚里士多德。

有两个轮子，其中一个轮子在另一个轮子中间，它们有着不同的直径。它们底边上某点所走过的路径都是直线，乍一看，这两条直线似乎等于两轮的周长。

但是这两条直线有着相同的长度，因此两个轮子的周长必定相同，这与两个轮子有着不同的直径是相互矛盾的，这就是所谓的轮子悖论。

悖论解释

这个悖论存在的漏洞就在于，假定小一点的轮子的进行轨迹为其周长。事实上，对两个轮子来说，想要做出完全相同的运动是不可能的。小一点的轮子并没有如图1所示从点3转动到点4，而是被大轮子拽着沿着这条直线前进。

从物理学角度来看，如果两个半径不同的同心轮子沿着一条平行线转动，那么其中至少会有一个打滑。如果利用齿轮系统防止打滑，那么轮子就会出现被卡住的情况。

在当代类似的实验中，这种情况通常会在司机将车停在路边时无意中发生。实验发现，尽管轮毂不断转动并发出刺耳声音，但汽车外胎并没有出现打滑的情况。

从数学角度来看，内圆的点的数量与外圆的点的数量是完全一样的，即这两个圆之间存在着一种双射的情况（一种对应关系）。这并不能运用到轮子实体上，因为它们是由离散的原子组成的。因此在车轮的密度、宽度与厚度等都相同的情况下（不同的只是他们之间的半径），较大车轮的原子数量肯定要更多一些。

想象大圆、小圆上分别涂上了不同颜色的油漆，车轮滚动一圈后，大圆、小圆所接触的水平线都会被涂满油漆，并且这两段水平线的长度都为2πR

也就是说，半径不同的两个圆，同步旋转一圈后，辗过的水平长度都是2πR，就常识而言，这个结论非常奇怪。

滚动与滑动

由于伽利略对无穷小的错误认识，所以他对亚里士多德的车轮悖论解释是错误的，下面用物理学的观点来解释一下。如果大圆和小圆都是独立滚动的，那么都滚动一圈的话，确实大圆应该水平移动2πR ，而小圆应该水平移动2πr 。

但在悖论中，真正独立滚动的是大圆，小圆是完全被动运动的。所以，悖论中提到小圆的半径为r 完全是一种误导，让你觉得小圆也在独立滚动。而实际上，小圆是在进行“滚动+滑动”的叠加运动，小圆在水平线上滚动一段距离、滑动一段距离，最终完成了 2πr 的平移。

“滚动+滑动”的叠加运动，我们没有办法做出图像，应该有点像刚才伽利略的推理，涂上蓝色油漆的部分对应着滚动，没有涂色的地方对应着滑动。