旅馆悖论 - 希尔伯特的旅馆悖论

希尔伯特旅馆悖论是一个与无限集合有关的数学悖论，由德国数学家大卫·希尔伯特提出。

【旅馆悖论】

这家旅馆坐落在名叫“数学”的热带风情度假胜地，有的人来了不想走，有的人一想到它就口干舌燥。

希尔伯特旅馆，其实是德国数学家大卫·希尔伯特在讨论无穷这个概念时，举的一个生动例子。它既是一个数学游戏，也经常跻身知名的若干悖论之一。

它的具体意思是说，假设一家旅馆有无穷个房间，但是都住满了。这时候又来了一位旅客要订房间，酒店主人就可以不慌不忙，让1号房间客人移到2号，2好移3号……以此类推，反正房间数量是无穷的，这样新的旅客就可以住1号房间。

而这时，又来了一车旅客。酒店主人依旧如法炮制，让每个房间的客人都向后移动N个房间，最终把新来的客人安置进去。

以此类推，接下来会发生什么呢？假如新来了无穷个客人。那么酒店老板只需要让每位客人都移到单号房间。比如2号房间移到3号房间，3号房间移到5号房间，把偶数房间都空出来，那么无穷个客人依旧可以住进去。

即使来了无穷多个旅行团，每个旅行团有无穷多位旅客，希尔伯特酒店依旧有办法，只需要把非2n(n∈N+)号房间就都空出来就行了。

希尔伯特旅馆之所以是个悖论，因为它标明了这样一件事：无穷是无法比较的。

无穷+1等于无穷；无穷+N等于无穷，无穷加无穷，无穷乘无穷，那还是无穷，无穷是纹丝不动的，又是随时变化的，无穷是可以包含若干个无穷的。

总之，无穷是难以名状的。

【解释】

这一问题虽然被称作“悖论”，但事实上它并不矛盾，而仅仅是与我们直觉相悖而已。在有无限个房间时，“每个房间都客满”与“无法入住新的客人”两者其实并不等价。

无限集合的性质与有限集合的性质并不相同。对于拥有有限个房间的旅馆，其奇数号房间的数量显然总是小于其房间总数的。然而，在希尔伯特所假想的这一旅馆中，奇数号房间数与总房间数是相同的。在数学上可以表述为包含所有房间的集合的势与包含所有奇数号房间的子集的势相同。事实上，无限集合都拥有这样的特点，所有无限集合都与它的某些子集的势相同。对于可数集，其势记为（阿列夫零）。