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高中数学:必修一 第1章 集合基本知识点汇总

英才学习4周前 (01-30)高中数学72

知识点1:集合的基本概念

1. 我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的整体叫做集合.

2. 集合三大特征:描述性,整体性,广泛性

3. 集合中元素的三大特征:确定性,互异性,无序性.

4. 若构成两个集合的元素一样,则两个集合相等.

5. 若a是A中的元素,则称a属于A,记作a∈A;若a不是A中的元素,则称a不属于A,记作a∉A.

6. 集合的两种表示方法:列举法,描述法。描述法可表示无限集,描述集合A中的元素x时,记作{x∈A|P(x)},其中P(x)表示x的共同特征.

7. 常见数集:自然数集N 正整数 N+或N* 整数 Z 有理数集 Q 实数集 R 复数集 C

知识点2:子集与空集

8. 对于两个集合A,B,若集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称集合A为集合B的子集,读作A包含于B(或B包含A),记作A⊆B(或B⊇A).

9. 若A⊆B,且B⊆A,则A=B,集合A与集合B相等.

10. 若A⊆B,x∈B,且x∉A,则A为B真子集,读作A真包含于B(或B真包含A),记作A⫋B(或B⫌A).集合间关系问题可用Venn图解决.

11. 不含任何元素的集合叫空集,记作∅,空集是任何集合的子集.

12. 包含的两大性质:自反性(A⊆ A),传递性(若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C)

13. ∅,0,{0},{∅}的区别:∅是一个没有元素的集合,0是一个元素,{0}是一个只有0(元素)的集合,{∅}是一个只有空集(既是元素也是集合)的集合.

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知识点3:并集、交集、补集与全集

15. 由所有属于A或属于B中的元素组成的集合称为A与B的并集,读作A并B,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A或x∈B}.

16. 并集的性质:

①A∪B=B∪A;A⊆(A∪B),B⊆(A∪B);A∪A=A;A∪∅=A.

②若A∪B=B,则A⊆B;若A⊆B,则A∪B=B.

17. 由所有属于A且属于B中的元素组成的集合称为A与B的交集,读作A交B,记作A∩B,即A∩B={x|x∈A且x∈B}.

18. 交集的性质:

①A∩B=B∩A;(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B;A交A=A,A∩∅=∅.

②若A∩B=A,则A⊆B;若A⊆B,则A∩B=A.

19. 若一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,则称其为全集,通常记作U.


22. 做题时出现A⊆B时一定要考虑A=∅的特殊情况.

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知识点4:充分条件与必要条件

24. 命题:若p,则q.其中p称为题设(条件),q称为结论.此时我们称由p可推出q,记作p⇒q.命题分为真命题与假命题. ¬是非的意思.

25. 四种命题:原命题(p⇒q)、逆命题(q⇒p)、否命题(¬p⇒¬q),逆否命题(¬q⇒¬p ),其中真命题的个数只能为0、2或4个.

26. 若p⇒q为真命题,我们称p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇒q为假命题,我们称p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.

27. 若既有p⇒q ,又有q⇒p ,则记作p⇔q,此时称p为q的充分必要条件,简称充要条件.显然,q也是p的充要条件.

28. 充分条件与必要条件的判定:

⑴ 定义法

① 若p⇒q且q ⇏p,则p是q的充分不必要条件;

② 若q⇒p且p ⇏q,则p是q的必要不充分条件;

③ 若p⇒q且q⇒p,则p是q的充要条件;

④ 若p ⇏q且q ⇏p,则p是q的不充分不必要条件.

⑵ 集合法:设满足p的元素构成A,满足q的元素构成B

① 若A⊆B,则p是q的充分条件;

② 若A⊇B,则p是q的必要条件;

③ 若A=B,则p是q的充要条件;

④ 若A⫋B,则p是q的充分不必要条件;

⑤ 若A⫌B,则p是q的必要不充分条件;

⑥ 若A⊄B,且B不包含于A,则p是q的不充分不必要条件.

知识点5:全称量词与存在量词



33.常见词语的否定:

等于 |不等于

大于 |不大于

小于 |不小于

是 |不是

都是 |不都是

任意的 |某个

所有的 |某些

之多有一个|至少有两个

至少有一个|一个也没有

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