知识点1：集合的基本概念

1. 我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合.

2. 集合三大特征：描述性，整体性，广泛性

3. 集合中元素的三大特征：确定性，互异性，无序性.

4. 若构成两个集合的元素一样，则两个集合相等.

5. 若a是A中的元素，则称a属于A，记作a∈A；若a不是A中的元素，则称a不属于A，记作a∉A.

6. 集合的两种表示方法：列举法，描述法。描述法可表示无限集，描述集合A中的元素x时，记作{x∈A|P(x)}，其中P(x)表示x的共同特征.

7. 常见数集：自然数集N 正整数 N+或N* 整数 Z 有理数集 Q 实数集 R 复数集 C

知识点2：子集与空集

8. 对于两个集合A,B,若集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集，读作A包含于B（或B包含A），记作A⊆B（或B⊇A）.

9. 若A⊆B，且B⊆A，则A=B,集合A与集合B相等.

10. 若A⊆B，x∈B，且x∉A，则A为B真子集，读作A真包含于B（或B真包含A），记作A⫋B（或B⫌A）.集合间关系问题可用Venn图解决.

11. 不含任何元素的集合叫空集，记作∅，空集是任何集合的子集.

12. 包含的两大性质：自反性（A⊆ A），传递性（若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C）

13. ∅，0，{0}，{∅}的区别：∅是一个没有元素的集合，0是一个元素，{0}是一个只有0（元素）的集合，{∅}是一个只有空集（既是元素也是集合）的集合.

知识点3：并集、交集、补集与全集

15. 由所有属于A或属于B中的元素组成的集合称为A与B的并集，读作A并B，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.

16. 并集的性质：

①A∪B=B∪A；A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；A∪A=A；A∪∅=A.

②若A∪B=B，则A⊆B；若A⊆B，则A∪B=B.

17. 由所有属于A且属于B中的元素组成的集合称为A与B的交集，读作A交B，记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.

18. 交集的性质：

①A∩B=B∩A；(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B；A交A=A，A∩∅=∅.

②若A∩B=A，则A⊆B；若A⊆B，则A∩B=A.

19. 若一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，则称其为全集，通常记作U.

22. 做题时出现A⊆B时一定要考虑A=∅的特殊情况.

知识点4：充分条件与必要条件

24. 命题：若p，则q.其中p称为题设（条件），q称为结论.此时我们称由p可推出q，记作p⇒q.命题分为真命题与假命题. ¬是非的意思.

25. 四种命题：原命题（p⇒q）、逆命题（q⇒p）、否命题（¬p⇒¬q），逆否命题（¬q⇒¬p ），其中真命题的个数只能为0、2或4个.

26. 若p⇒q为真命题，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇒q为假命题，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.

27. 若既有p⇒q ，又有q⇒p ，则记作p⇔q，此时称p为q的充分必要条件，简称充要条件.显然，q也是p的充要条件.

28. 充分条件与必要条件的判定：

⑴ 定义法

① 若p⇒q且q ⇏p，则p是q的充分不必要条件；

② 若q⇒p且p ⇏q，则p是q的必要不充分条件；

③ 若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；

④ 若p ⇏q且q ⇏p，则p是q的不充分不必要条件.

⑵ 集合法：设满足p的元素构成A，满足q的元素构成B

① 若A⊆B，则p是q的充分条件；

② 若A⊇B，则p是q的必要条件；

③ 若A=B，则p是q的充要条件；

④ 若A⫋B，则p是q的充分不必要条件；

⑤ 若A⫌B，则p是q的必要不充分条件；

⑥ 若A⊄B，且B不包含于A，则p是q的不充分不必要条件.

知识点5：全称量词与存在量词

33.常见词语的否定：

等于 |不等于

大于 |不大于

小于 |不小于

是 |不是

都是 |不都是

任意的 |某个

所有的 |某些

之多有一个|至少有两个

至少有一个|一个也没有