调和、几何、算术、平方平均数以及均值不等式

一、调和、几何、算术、平方平均数定义

1.调和平均数

调和平均数（harmonic mean）又称倒数平均数，是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。

它的计算公式如下：

2.几何平均数

几何平均数（Geometric Mean）是对各变量值的连乘积开项数次方根。求几何平均数的方法叫做几何平均法。

它的计算公式如下：

3.算术平均数

算术平均数（arithmetic mean），又称均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标。

它的计算公式如下：

4.平方平均数

平方平均数（quadratic mean），又名均方根（Root Mean Square），是指一组数据的平方的平均数的算术平方根。

它的计算公式如下：

二、调和、几何、算术、平方平均数之间关系

被称为均值不等式。

即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。均值不等式也可以看成是“对于若干个非负实数，它们的算术平均不小于几何平均”的推论。

三、二元均值不等式

特殊的：二元均值不等式

二元均值不等式变式：

四、基本不等式求最值方法

基本不等式求最值方法：

基本不等式求最值的七字真言：一正二定三相等。

一正：指的是各项都必须为正数；

二定：指的是求两式之和或者积为定值，求两式之积或者和为定值；

三相等：也就是当且仅当两式相等时，等号成立。

当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。这就是上面所说的“二定”，和为定值或者积为定值。