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高中数学:复数

英才学习3个月前 (05-06)复数365

高中数学:复数

一、基本概念

1.定义:

形如a+bi的数叫做复数(a,b∈R),其中a叫做复数的实部,b叫做虚部。

全体复数所组成的集合叫做复数集。

2.分类:

实数:当b=0时,复数a+bi为实数

虚数:当b≠0时,复数a+bi为虚数

纯虚数:当a=0,b≠0时,复数a+bi为纯虚数

3.两个复数相等的定义:

如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

换另外一种说法就是:两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等。

例如:如果a+bi=c+di,则a=c且b=d,另外当a+bi=0,则a=0且b=0

备注:

两个虚数(b≠0)是不能比较大小的,即使是纯虚数也是不能比较大小的,具体举例如下:

① 3+i与8+2i,虽然后面的虚数的实部跟虚部都是大于前面的虚数,但是仍不能比较大小。

② 2+i与4+2i虽然后面的虚数是前面虚数的2倍,但是不能比较大小

③ 3i跟5i,两个都是纯虚数,但是不能比较大小的


知识点:复数实数虚数关系图

复数实数虚数关系图.jpg


4.共轭复数:

当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.

例如:z=a+bi的共轭复数是图片


知识点:复数与共轭复数的关系

模的关系:复数 ( z ) 与其共轭复数的模相等。

乘积关系:复数 ( z ) 与其共轭复数的乘积等于 ( z ) 模的平方。

倒数的特殊情况:若复数 ( z ) 的模等于 1,则 ( z ) 的倒数的等于 ( z ) 的共轭复数。


a+bi与a−bi互为共轭复数,互为共轭复数的复数关系如下图: 


实数部分、虚数部分 分别等于

image.png

坐标平面上的几何图形可以用复数来表示,比如:

几何图形

可以用复数变量表示为:

几何图形复数变量


二、几何意义

1.复平面定义:

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,其中x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.

图片


2.几何意义:

复数z=a+bi与复平面内的点(a,b)以及平面向量图片,其中a,b∈R,是一一对应关系(复数的实质是有序实数对,有序实数对既可以表示一个点,也可以表示一个平面向量)

z=a+bi的模,即图片


复数加法的几何意义可以通过向量的加减法来进行理解。

在复平面上,每一个复数都可以表示为一个从原点出发的向量,其中向量的横坐标对应复数的实部,纵坐标对应复数的虚部。

因此,复数的加法可以看作是两个向量在复平面上的合成,即平行四边形法则或三角形法则。

例如,若向量OZ₁,OZ₂分别与复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)对应,且OZ₁,OZ₂不共线,以OZ₁,OZ₂为两条临边画平行四边形OZ₁ZZ₂,则OZ=OZ₁+OZ₂=(a+c)+(b+d)i对应的向量,即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

同理,复数的减法也可以按照向量的减法来进行。例如,若向量OZ₁,OZ₂分别与复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)对应,那么OZ₁-OZ₂=(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)对应的向量,即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离。

三、复数运算

1.加、减、乘、除运算:

设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i

(1)z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i

(2)z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i

两个复数相加减等于就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减。

(3)z1·z2=(a1+b1i)·(a2+b2i)=a1a2+a1b2i+a2b1i+b1b2i2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i

(4)图片

(5)复数的乘方

zmzn=zm+n

(zm)n=zmn

(z1z2)n=z1nz2n


2.其他结论

(1) i1=i, i2=-1,i3=-i,i4=1

i4n=1,i4n+1=i, i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1  ......

备注:求in只需将n除以4看余数是几就是i的几次方

(2)in+in+1+in+2+in+3=0

(3) (1+i)2=2i,(1-i)2=-2i

(4)若z=a+bi,则图片


四、复数的三角形式

复数z=a+bi可以用复数的模r和辐角θ来表示:

z=r(cosθ+isinθ)(叫作复数z=a+bi的三角形式)

其中,r=√(a2+b2)≥0,cosθ=a/r,sinθ=b/r,tanθ=b/a

说明:任何一个复数z=a+bi均可表示成r(cosθ+isinθ)的形式,其中r为Z的模,θ为z的一个辐角。


复数的乘法、除法与幂运算:

复数的乘法:复数相乘等于模相乘、幅角相加。

复数的除法:复数相除等于模相除、幅角相减。

复数的幂运算:复数的n次幂等于模的n次幂,幅角的n倍。


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