高中数学：复数

一、基本概念

1.定义：

形如a+bi的数叫做复数(a，b∈R)，其中a叫做复数的实部，b叫做虚部。

全体复数所组成的集合叫做复数集。

2.分类：

实数：当b=0时，复数a+bi为实数

虚数：当b≠0时，复数a+bi为虚数

纯虚数：当a=0，b≠0时，复数a+bi为纯虚数

3.两个复数相等的定义：

如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

换另外一种说法就是：两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等。

例如：如果a+bi=c+di，则a=c且b=d，另外当a+bi=0，则a=0且b=0

备注：

两个虚数(b≠0)是不能比较大小的，即使是纯虚数也是不能比较大小的，具体举例如下：

① 3+i与8+2i，虽然后面的虚数的实部跟虚部都是大于前面的虚数，但是仍不能比较大小。

② 2+i与4+2i虽然后面的虚数是前面虚数的2倍，但是不能比较大小

③ 3i跟5i，两个都是纯虚数，但是不能比较大小的

知识点：复数实数虚数关系图

4.共轭复数：

当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.

例如：z=a+bi的共轭复数是

知识点：复数与共轭复数的关系

模的关系：复数 ( z ) 与其共轭复数的模相等。

乘积关系：复数 ( z ) 与其共轭复数的乘积等于 ( z ) 模的平方。

倒数的特殊情况：若复数 ( z ) 的模等于 1，则 ( z ) 的倒数的等于 ( z ) 的共轭复数。

a+bi与a−bi互为共轭复数，互为共轭复数的复数关系如下图： 

实数部分、虚数部分 分别等于

坐标平面上的几何图形可以用复数来表示，比如：

可以用复数变量表示为：

二、几何意义

1.复平面定义：

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2.几何意义：

复数z=a+bi与复平面内的点(a,b)以及平面向量,其中a，b∈R，是一一对应关系(复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量)

z=a+bi的模，即

复数加法的几何意义可以通过向量的加减法来进行理解。

在复平面上，每一个复数都可以表示为一个从原点出发的向量，其中向量的横坐标对应复数的实部，纵坐标对应复数的虚部。

因此，复数的加法可以看作是两个向量在复平面上的合成，即平行四边形法则或三角形法则。

例如，若向量OZ₁,OZ₂分别与复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)对应，且OZ₁,OZ₂不共线，以OZ₁,OZ₂为两条临边画平行四边形OZ₁ZZ₂，则OZ=OZ₁+OZ₂=(a+c)+(b+d)i对应的向量，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

同理，复数的减法也可以按照向量的减法来进行。例如，若向量OZ₁,OZ₂分别与复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)对应，那么OZ₁-OZ₂=(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)对应的向量，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离。

三、复数运算

1.加、减、乘、除运算：

设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i

（1）z₁+z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i

（2）z₁-z₂=(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i

两个复数相加减等于就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减。

（3）z₁·z₂=(a₁+b₁i)·(a₂+b₂i)=a₁a₂+a₁b₂i+a₂b₁i+b₁b₂i²=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i

（4）

（5）复数的乘方

z^mzⁿ=z^m+n

(z^m)ⁿ=z^mn

(z₁z₂)ⁿ⁼z₁ⁿz₂ⁿ

2.其他结论

（1） i¹=i, i²=-1，i³=-i，i⁴=1

i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i, i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，i⁴ⁿ⁺⁴=1  ......

备注：求iⁿ只需将n除以4看余数是几就是i的几次方

（2）iⁿ+iⁿ⁺¹+iⁿ⁺²+iⁿ⁺³=0

（3） (1+i)²=2i，(1-i)²=-2i

（4）若z=a+bi，则

四、复数的三角形式

复数z=a+bi可以用复数的模r和辐角θ来表示：

z=r(cosθ+isinθ)（叫作复数z=a+bi的三角形式）

其中，r=√(a²+b²)≥0，cosθ=a/r，sinθ=b/r，tanθ=b/a

说明：任何一个复数z=a+bi均可表示成r(cosθ+isinθ)的形式，其中r为Z的模，θ为z的一个辐角。

复数的乘法、除法与幂运算：

复数的乘法：复数相乘等于模相乘、幅角相加。

复数的除法：复数相除等于模相除、幅角相减。

复数的幂运算：复数的n次幂等于模的n次幂，幅角的n倍。