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高中数学:原函数与其导函数奇偶性、对称性、周期性关系

英才学习1个月前 (06-13)函数153

高中数学:原函数与其导函数奇偶性、对称性、周期性关系


一、奇偶性

结论一  

若可导函数f(x)为奇函数,则其导函数f’(x)为偶函数。

证明:

∵f(x)为奇函数,

则有f(-x)=-f(x)

将上式两边同时求导可得:

(-x) ’f’(-x)=- f’(x)    (复合函数求导法则)

整理得:- f’(-x)=-f’(x)

即f’(x)= f’(-x)

可知f(x)的导函数f’(x)为偶函数


若可导函数f(x)的导函数f’(x)为偶函数,则函数f(x)不一定为奇函数。

证明如下:

证明:

∵f’(x)为偶函数,

则有f’(x)= f’(-x)

将上式两边同时积分可得:

∫f’(x)dx=∫f’(-x)dx

即f(x)+C1=-f(-x)+C2      (C1和C2为常数)      

由上式可知:只有当C1=C2时,f(x)才为奇函数。


结论二  

若可导函数f(x)为偶函数,则其导函数f’(x)为奇函数。

证明:

∵f(x)为偶函数,

则有f(x)=f(-x)

将上式两边同时求导可得:

f’(x)=-f’(-x)

可知f(x)的导函数f’(x)为奇函数

备注:若可导函数f(x)的导函数f’(x)为奇函数,则函数f(x)不一定为偶函数(证明略)


例题:若f(x)=a∙sin(x+π/4)+b∙sin(x-π/4)为偶函数,则求a,b的关系

解:

∵f(x)为偶函数

∴f’(x)为奇函数,则有f’(0)=0

又f’(x)= a∙cos(x+π/4)+b∙cos(x-π/4),

则f’(0)= a∙cos(π/4)+b∙cos(-π/4)=0

可得a,b的关系为:a+b=0


二、对称性

结论三  

若可导函数f(x)的图像关于点(m,n)对称,则其导函数f’(x)的图像关于x=m对称。

证明:

已知f(x)的图像关于(m,n)对称,可得:

f(x)+f(2m-x)=2n

整理得:

f(x)=-f(2m-x)+2n,等式两边同时求导得:

f’(x)= f’(2m-x)

∴f(x)的导函数f’(x)关于x=m这条直线对称


结论四  

若可导函数f(x)的图像关于x=m对称,则其导函数f’(x)的图像关于(m,0)对称。

证明:

已知f(x)关于x=m对称

∴f(x)=f(2m-x)

等式两边同时求导得:

f’(x)=-f’(2m-x)

∴f’(x)的图像关于(m,0)对称



结论五 

若可导函数f(x)的导函数f’(x)的图像关于x=m对称,则f(x)的图像关于(x0,[f(x0)+f(2m-x0)]/2)对称,其中x0为定义域内任意值。

证明:

已知f’(x)关于x=m对称

∴f’(x)= f’(2m-x)

将上式两边同时积分可得:

∫f’(x)dx=∫f’(2m-x)dx

f(x)+C1=-f(2m-x)+C2

即f(x)+f(2m-x)=C2-C1

令x=x  (x0为定义域内任意值)

则由上式可知C2-C1= f(x0)+f(2m-x0)

即:f(x)+f(2m-x)= f(x0)+f(2m-x0)

∴f(x)的图像关于(m,[f(x0)+f(2m-x0)]/2)对称

备注:当f(x)在x=m处有意义时,可以将上式的x0用m来替代,则有f(x)的图像关于(m,f(m))对称。


若f’(x)关于点x=a对称,则f(x)关于点(a,f(a))对称

特殊情况:f’(x)为偶函数,则过原点的f(x)奇函数


例题:求f(x)=x3-6x2+2x+6的对称中心

解:

f’(x)=3x2-12x+2

可知f’(x)的对称轴为:x=2

且f(x)在x=2处有意义,

则f(x)的对称中心为(2,f(2)),即(2,-6)


结论六  

若可导函数f(x)的导函数f’(x)的图像关于(m,0)对称,且在定义域内存在一点x0,使得f(x0)=f(2m-x0),则f(x)的图像关于x=m对称。

证明:

已知f’ (x)关于(m,0)对称

∴f’ (x)=- f’ (2m-x)

将上式两边同时积分可得:

∫f’(x)dx=∫-f’(2m-x)dx

f(x)+C1=f(2m-x)+C2

令x=x0

整理可得:C2-C1=f(x0)-f(2m-x0)

又已知f(x0)=f(2m-x0)

∴C2-C1=0

∴ f(x)=f(2m-x)

∴ f(x)关于x=m对称

备注:若可导函数f(x)的导函数f’(x)的图像关于(m,n)对称,不能推出f(x)的图像关于x=m对称(可自行证明)


若f’(x)关于点(a,b)对称,

若b=0,则f(x)关于x=a对称

若b≠0,则f(x)不关于x=a对称

特殊情况:奇函数的原函数为偶函数


三、周期性

结论七

若f(x) 的周期为T,则f’(x)的周期也为T。


证:由f(x) 的周期为T,得f(x)=f(x+T),两边关于x求导得 f’(x)=f’(x+T)


结论七

若f’(x)的周期为T,且存在x0使得f(x0)=f(x0+T),则f(x)的周期也为T。

证:由f’(x)的周期为T,得f’(x)=f’(x+T), 即[f(x)-f(x+T)]’=0  ,所以f(x)-f(x+T)=c(c为常数)。特别地,存在 x0使得f(x0)=f(x0+T) 时,c=0 ,则f(x)=f(x+T)。


函数的相关性质可以查看下面链接:

https://yc8.com.cn/wenzhang/202405/4259.html


例题:【2022新高考1卷12(多选)】

已知函数f(x)及其导函数f’(x)的定义域均为R,记g(x)=f’(x),若f(3/2-2x),g(2+x)  均为偶函数,则:

A.f(0)=0   B.g(-1/2)=0    C.f(-1)=f(4)   D.g(-1)=g(2)


解析:

由f(3/2-2x)为偶函数得f(3/2-2x)=f(3/2+2x),故f(x)关于x=3/2对称,选项C 正确.

知g(x)关于(3/2,0)对称;由g(2+x)为偶函数知g(x)关于x=2对称.综上,g(x)关于(3/2,0) 和x=2对称,则2 为其周期, g(-1/2)=g(-1/2+2)=g(3/2)=0 选项B正确;

g(-1)=g(-1+2)=g(1) ,g(2)=g(3-1)=-g(1)  ,最后这步用到g(x)关于 (3/2,0) 对称,选项D错误;

对于f(x)只能确定其对称轴,无法确定其对称中心,事实上,若f(x)满足题设,则f(x)+c也满足,故A错.

另解:构造满足题设的函数g(x)=cos(πx),则f(x)=1/π.sin(πx)+c .


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