高中数学：原函数与其导函数奇偶性、对称性、周期性关系

一、奇偶性

结论一  

若可导函数f(x)为奇函数，则其导函数f’(x)为偶函数。

证明：

∵f(x)为奇函数，

则有f(-x)=-f(x)

将上式两边同时求导可得：

(-x) ’f’(-x)=- f’(x)    (复合函数求导法则)

整理得：- f’(-x)=-f’(x)

即f’(x)= f’(-x)

可知f(x)的导函数f’(x)为偶函数

若可导函数f(x)的导函数f’(x)为偶函数，则函数f(x)不一定为奇函数。

证明如下：

证明：

∵f’(x)为偶函数，

则有f’(x)= f’(-x)

将上式两边同时积分可得：

∫f’(x)dx=∫f’(-x)dx

即f(x)+C1=-f(-x)+C2      (C1和C2为常数)      

由上式可知：只有当C1=C2时，f(x)才为奇函数。

结论二  

若可导函数f(x)为偶函数，则其导函数f’(x)为奇函数。

证明：

∵f(x)为偶函数，

则有f(x)=f(-x)

将上式两边同时求导可得：

f’(x)=-f’(-x)

可知f(x)的导函数f’(x)为奇函数

备注：若可导函数f(x)的导函数f’(x)为奇函数，则函数f(x)不一定为偶函数(证明略)

例题：若f(x)=a∙sin(x+π/4)+b∙sin(x-π/4)为偶函数，则求a，b的关系

解：

∵f(x)为偶函数

∴f’(x)为奇函数，则有f’(0)=0

又f’(x)= a∙cos(x+π/4)+b∙cos(x-π/4)，

则f’(0)= a∙cos(π/4)+b∙cos(-π/4)=0

可得a，b的关系为：a+b=0

二、对称性

结论三  

若可导函数f(x)的图像关于点(m，n)对称，则其导函数f’(x)的图像关于x=m对称。

证明：

已知f(x)的图像关于(m，n)对称，可得：

f(x)+f(2m-x)=2n

整理得：

f(x)=-f(2m-x)+2n，等式两边同时求导得：

f’(x)= f’(2m-x)

∴f(x)的导函数f’(x)关于x=m这条直线对称

结论四  

若可导函数f(x)的图像关于x=m对称，则其导函数f’(x)的图像关于(m，0)对称。

证明：

已知f(x)关于x=m对称

∴f(x)=f(2m-x)

等式两边同时求导得：

f’(x)=-f’(2m-x)

∴f’(x)的图像关于(m，0)对称

结论五 

若可导函数f(x)的导函数f’(x)的图像关于x=m对称，则f(x)的图像关于(x₀，[f(x₀)+f(2m-x₀)]/2)对称，其中x₀为定义域内任意值。

证明：

已知f’(x)关于x=m对称

∴f’(x)= f’(2m-x)

将上式两边同时积分可得：

∫f’(x)dx=∫f’(2m-x)dx

f(x)+C1=-f(2m-x)+C₂

即f(x)+f(2m-x)=C₂-C₁

令x=x₀   (x₀为定义域内任意值)

则由上式可知C₂-C₁= f(x₀)+f(2m-x₀)

即：f(x)+f(2m-x)= f(x₀)+f(2m-x₀)

∴f(x)的图像关于(m，[f(x₀)+f(2m-x₀)]/2)对称

备注：当f(x)在x=m处有意义时，可以将上式的x₀用m来替代，则有f(x)的图像关于(m，f(m))对称。

若f’(x)关于点x=a对称，则f(x)关于点(a,f(a))对称

特殊情况：f’(x)为偶函数，则过原点的f(x)奇函数

例题：求f(x)=x³-6x²+2x+6的对称中心

解：

f’(x)=3x²-12x+2

可知f’(x)的对称轴为：x=2

且f(x)在x=2处有意义，

则f(x)的对称中心为(2，f(2))，即(2，-6)

结论六  

若可导函数f(x)的导函数f’(x)的图像关于(m，0)对称，且在定义域内存在一点x₀，使得f(x₀)=f(2m-x₀)，则f(x)的图像关于x=m对称。

证明：

已知f’ (x)关于(m，0)对称

∴f’ (x)=- f’ (2m-x)

将上式两边同时积分可得：

∫f’(x)dx=∫-f’(2m-x)dx

f(x)+C₁=f(2m-x)+C₂

令x=x₀，

整理可得：C₂-C₁=f(x₀)-f(2m-x₀)

又已知f(x₀)=f(2m-x₀)

∴C₂-C₁=0

∴ f(x)=f(2m-x)

∴ f(x)关于x=m对称

备注：若可导函数f(x)的导函数f’(x)的图像关于(m，n)对称，不能推出f(x)的图像关于x=m对称(可自行证明)

若f’(x)关于点(a,b)对称，

若b=0,则f(x)关于x=a对称

若b≠0,则f(x)不关于x=a对称

特殊情况：奇函数的原函数为偶函数

三、周期性

结论七

若f(x) 的周期为T,则f’(x)的周期也为T。

证：由f(x) 的周期为T，得f(x)=f(x+T)，两边关于x求导得 f’(x)=f’(x+T)

结论七

若f’(x)的周期为T，且存在x₀使得f(x₀)=f(x₀+T)，则f(x)的周期也为T。

证：由f’(x)的周期为T，得f’(x)=f’(x+T)， 即[f(x)-f(x+T)]’=0  ，所以f(x)-f(x+T)=c（c为常数）。特别地，存在 x₀使得f(x₀)=f(x₀+T) 时，c=0 ，则f(x)=f(x+T)。

函数的相关性质可以查看下面链接：

https://yc8.com.cn/wenzhang/202405/4259.html

例题：【2022新高考1卷12(多选)】

已知函数f(x)及其导函数f’(x)的定义域均为R，记g(x)=f’(x)，若f(3/2-2x)，g(2+x)  均为偶函数，则：

A.f(0)=0   B.g(-1/2)=0    C.f(-1)=f(4)   D.g(-1)=g(2)

解析：

由f(3/2-2x)为偶函数得f(3/2-2x)=f(3/2+2x)，故f(x)关于x=3/2对称，选项C 正确.

知g(x)关于(3/2,0)对称；由g(2+x)为偶函数知g(x)关于x=2对称.综上，g(x)关于(3/2,0) 和x=2对称，则2 为其周期， g(-1/2)=g(-1/2+2)=g(3/2)=0 选项B正确；

g(-1)=g(-1+2)=g(1) ，g(2)=g(3-1)=-g(1)  ,最后这步用到g(x)关于 (3/2,0) 对称，选项D错误;

对于f(x)只能确定其对称轴，无法确定其对称中心，事实上，若f(x)满足题设，则f(x)+c也满足，故A错.

另解：构造满足题设的函数g(x)=cos(πx)，则f(x)=1/π.sin(πx)+c .