高中数学：函数的四种基本性质 - 单调性、奇偶性、周期性、对称性

一、函数的单调性

函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调递增或单调递减）。

如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函数的一个单调区间，则可判断出：

D⊆Q（Q是函数的定义域）。

区间D上，对于函数f(x)，∀（任取值）x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)。或，∀ x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) <f(x2)。

函数图像一定是上升或下降的。

该函数在E⊆D上与D上具有相同的单调性。

换另外一种表示方式如下：

一般地，设一连续函数f(x) 的定义域为D，则：

如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)，即在D上具有单调性且单调增加，那么就说f(x) 在这个区间上是增函数。

相反地，如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) <f(x2)，即在D上具有单调性且单调减少，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数。

则增函数和减函数统称单调函数。

也就是：

函数单调性的定义是双向的，即如果函数f(x)在区间D上单调递增，则对于任意的x₁,x₂ ∈D，x₁<x₂⇔f(x₁)<f(x₂)单调递减的情况与之类似。

下面让我们掌握函数单调性更多的知识点：

1.奇函数在对称的单调区间内单调性相同，偶函数在对称的单调区间内单调性相反；

2.互为反函数的两个函数具有相同的单调性；【知识点：函数与反函数关于y=x对称】

3.在公共定义域内，

增函数f (x) + 增函数g (x)是增函数；

减函数f (x) + 减函数g (x)是减函数；

增函数f (x) - 减函数g (x)是增函数；

减函数f (x) - 增函数g (x)是减函数；

4.复合函数的单调性满足“同增异减”，即若内层函数和外层函数在某一区间的单调性相同,则复合函数在此区间为增函数,若内层函数和外层函数的单调性相反，则复合函数就为减函数。

也就是：

复合函数的单调性法则是“同增异减”。具体内涵为，假设一个复合函数的解析式为y=f(u(x))，则其外层函数为y=f(u)，内层函数为u=u(x)。

（1）如果在一个区间上以u为变量的外层函数y=f(u)和以x为变量的内层函数的单调性相同（同增或同减），则y=f(u(x))为这个区间上的增函数。

（2）如果在一个区间上以u为变量的外层函数y=f(u)和以x为变量的内层函数的单调性相反（“内增外减”或“内减外增”），则y=f(u(x))为这个区间上的减函数。

函数单调性性质：

1.函数 f(x) 与 f(x)+C （ C 为常数）具有相同的单调性；

2.k>0 时，函数 f(x) 与 k·f(x) 有相同的单调性； k<0 时，函数 f(x) 与 k·f(x) 的单调性相反；

3.当函数 f(x) 恒为非负时，函数 f(x) 与 √f(x) 具有相同的单调性；

4.当函数 f(x)恒不为0时 ,则函数 f(x) 与 1/f(x) 的单调性相反；

5.当函数 f(x)、g(x)  都是增（减）函数时， f(x)+g(x)  也是增（减）函数，增函数-减函数=增函数；

6.若函数 f(x)、g(x)  都是增（减）函数时，当函数 f(x)、g(x)  都恒大于0时， f(x)·g(x) 也是增（减）函数；当函数 f(x)、g(x)  都恒小于0时， f(x)·g(x) 是减（增）函数。

具体如下：

1.函数运算后单调性：

增函数f (x) + 增函数g (x)是增函数；

减函数f (x) + 减函数g (x)是减函数；

增函数f (x) - 减函数g (x)是增函数；

减函数f (x) - 增函数g (x)是减函数；

乘法规则如下：

2.复合函数单调性：

二、函数的奇偶性

奇偶性是函数的基本性质之一。

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x）=f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数。

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫奇函数。

设函数f(x)的定义域D；

1.如果对于函数定义域D内的任意一个x，都有f(x)=－f(x)，那么函数f(-x)就叫做奇函数。

2.如果对于函数定义域D内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)，那么函数f(-x)就叫做偶函数。

3.如果对于函数定义域D内的任意一个x，f(-x)=-f(x）与f(-x)=f(x）同时成立，那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

4.如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x）或f(-x)=f(x）都不能成立，那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：

（1）奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。

（2）奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论）

（3）判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义、变式。

奇偶函数变式：

奇：f(x)+f(-x)=0; f(x)*f(-x)=-f²(x); f(x)/f(-x)=-1

偶：f(x)-f(-x)=0; f(x)*f(-x)=f²(x); f(x)/f(-x)=1

对奇（偶）函数的理解：

1.奇（偶）函数的定义域关于原点对称；

2.若奇函数在x=0有意义，则f(0)=0;

3.奇函数在[a, b]和[-b, -a]上有相同的单调性，偶函数在[a, b]和[-b, -a]上有相反的单调性。

奇偶函数具体性质及常见函数如下：

常见的奇函数：

奇函数的常见性质：

1.函数定义域关于原点(或y轴)对称；

2.函数图像关于原点对称；

3.如果定义域内x=0有意义，一定有f(0)=0；

4.函数在对称区间的单调性一致；

5.在对称点的极值(或最值)是相反的。

常见的偶函数：

偶函数的常见性质：

1.函数的定义域关于y轴对称；

2.图像关于y轴对称；

3.在对称区问的单调性是相反的；

4.在对称点的极值(或最值)是相同的。

函数奇偶性运算法则：

1.奇函数+奇函数=奇函数

2.偶函数+偶函数=偶函数

3.奇函数x(或÷)奇函数=偶函数

4.奇函数x(或÷)偶函数=奇函数

5.偶函数x(或÷)奇函数=奇函数

6.偶函数x(或÷)偶函数=偶函数

7.复合函数的奇偶性：

复合函数的奇偶性：内偶则偶，内奇同外；几个函数复合，只要有一个是偶函数，结果是偶函数；若无偶函数则是奇函数。

也就是：只要有偶函数则复合函数为偶函数，如一奇一偶为偶；若只有奇函数则复合函数为奇函数,无论奇数个还是偶数个,如两奇仍为奇。

三、函数的周期性

1.若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫作周期函数，T叫作这个函数的一个周期。

2.假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)，其中a+b=T),则说T是函数的一个周期，T的整数倍也是函数的一个周期。

3.周期函数性质：

（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。

（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。

（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。

（4）设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则f(x+nT)=f(x)，f(x-nT)=f(x)。这里的n可以是任意整数。

（5）设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则y=f(x)+b、y=Af(x)、y=Af(x)+b，（注：A不等于0），都是最小正周期为T的周期函数。

（6）设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则y=f(wx)+b、y=Af(wx)、y=Af(wx)+b都是周期函数，并且最小正周期为“T/|w|”。（注：A、w都不为0）

（7）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（8）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 (T1+T2)/T*∈Q（Q是有理数集）

（9）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。

4.高中数学常见的周期函数的周期

（1）y=sinx ，最小正周期T=2π；y=|sinx|，最小正周期T= π。

（2）y=cosx，最小正周期T=2π；y=|cosx|，最小正周期T= π。

（3）y=tanx，最小正周期T=π；y=cotx，最小正周期T=π。

（4）y=Asin(wx+φ)+b，最小正周期T=2π/|w|。（注：“A”、“w”为非0常数，下同。）

（5）y=Acos(wx+φ)+b，最小正周期T=2π/|w|。

（6）y=Atan(wx+φ)+b，最小正周期T=π/|w|。

（7）常函数“y=c（c为常数）”，是以任意非零常数为周期的周期函数。

（8）抽象函数的周期性：

设函数y=f(x)，x∈R,a>0.

①若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2a；

②若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为2a；

③若f(x+a)=1/f(x)，则函数的周期为2a；

④若f(x+a)=-1/f(x)，则函数的周期为2a；

⑤函数关于直线x=a与x=b对称，那么函数的周期为 2|b-a|；

⑥若函数关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数的周期是2|b-a|；

⑦若函数关于直线x=a对称，又关于点(b,0)对称，则函数的周期是4|b-a|；

⑧若函数f(x)是偶函数，其图像关于直线x=a对称，则其周期为2a；

如果是奇函数，其图像关于直线x=a对称，则其周期为4a;

【注】一般情况下，如果一个周期函数有最小正周期的话，“周期”通常指的都是这个周期函数的“最小正周期”。常函数没有最小正周期。

四、函数的对称性

（一）轴对称

（二）中心对称

函数中心对称定义：如果一个函数的图像沿一个点旋转180°，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

备注：对结论①，如果a=0时，则f(x)关于原点对称，则此时f(x)为奇函数

轴对称和点对称的区别：

1.轴对称

对于函数来说，如果在x=a这条直线的两边，向左一个x，向右一个x，它们的函数值相等.

此时，我们就说这个函数关于x=a轴对称。

2.点对称对于一个点（a，b），向左一个x，向右一个x，它们的函数值相加是这个点函数值的二倍，我们就说这个函数关于点（a,b）对称。

偶函数对称性：

定义：如果对于任意x，有f(-x) = f(x)。

公式：f(x)是偶函数 ⇔ f(-x) = f(x)

奇函数对称性：

定义：如果对于任意x，有f(-x) = -f(x)。

公式：f(x)是奇函数 ⇔ f(-x) = -f(x)

x轴对称性（关于x轴对称）：

定义：如果对于任意x，有f(x) = f(-x)。

公式：函数f(x)关于x轴对称 ⇔ f(x) = f(-x)

y轴对称性（关于y轴对称）：

定义：如果对于任意x，有f(-x) = -f(x)。

公式：函数f(x)关于y轴对称 ⇔ f(-x) = -f(x)

原点对称性（关于原点对称）：

定义：如果对于任意x，有f(-x) = -f(x)。

公式：函数f(x)关于原点对称 ⇔ f(-x) = -f(x)

旋转对称性：

定义：函数在某个旋转角度下保持不变。

公式：f(x ± a) = f(x)，其中a是旋转角度。

常见抽象函数对称：

奇偶性，对称性和周期性的关联

1.f(x+a)=f(b-x)且 f(x)是奇函数，则f(x)是周期函数，且T=2|a+b|

2.f(x+a)=-f(b-x)且 f(x)是奇函数，说明f(x)是周期函数，且T=|a+b|

3.f(x+a)=f(b-x)且 f(x)是偶函数，说明f(x)是周期函数，且T=|a+b|

4.f(x+a)=-f(b-x)且f(x)是偶函数，说明f(x)是周期函数，且T=2|a+b|