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高中数学:函数的四种基本性质 - 单调性、奇偶性、周期性、对称性

英才学习2个月前 (05-11)函数393

高中数学:函数的四种基本性质 - 单调性、奇偶性、周期性、对称性


一、函数的单调性

函数的单调性(monotonicity)也叫函数的增减性,可以定性描述在一个指定区间内,函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时,函数值也随着增大(或减小),则称该函数为在该区间上具有单调性(单调递增或单调递减)。


如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性,则我们将D称作函数的一个单调区间,则可判断出:

D⊆Q(Q是函数的定义域)。

区间D上,对于函数f(x),∀(任取值)x1,x2∈D且x1>x2,都有f(x1) >f(x2)。或,∀ x1,x2∈D且x1>x2,都有f(x1) <f(x2)。

函数图像一定是上升或下降的。

该函数在E⊆D上与D上具有相同的单调性。

换另外一种表示方式如下:

一般地,设一连续函数f(x) 的定义域为D,则:

如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2∈D且x1>x2,都有f(x1) >f(x2),即在D上具有单调性且单调增加,那么就说f(x) 在这个区间上是增函数。

相反地,如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2∈D且x1>x2,都有f(x1) <f(x2),即在D上具有单调性且单调减少,那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数。

则增函数和减函数统称单调函数。


也就是:

函数单调性的定义是双向的,即如果函数f(x)在区间D上单调递增,则对于任意的x1,x2 ∈D,x1<x2f(x1)<f(x2)单调递减的情况与之类似。

下面让我们掌握函数单调性更多的知识点:

1.奇函数在对称的单调区间内单调性相同偶函数在对称的单调区间内单调性相反

2.互为反函数的两个函数具有相同的单调性;【知识点:函数与反函数关于y=x对称】

3.在公共定义域内,

增函数f (x) + 增函数g (x)是增函数;

减函数f (x) + 减函数g (x)是减函数;

增函数f (x) - 减函数g (x)是增函数;

减函数f (x) - 增函数g (x)是减函数;

4.复合函数的单调性满足“同增异减”,即若内层函数和外层函数在某一区间的单调性相同,则复合函数在此区间为增函数,若内层函数和外层函数的单调性相反,则复合函数就为减函数。

也就是:

复合函数的单调性法则是“同增异减”。具体内涵为,假设一个复合函数的解析式为y=f(u(x)),则其外层函数为y=f(u),内层函数为u=u(x)。

(1)如果在一个区间上以u为变量的外层函数y=f(u)和以x为变量的内层函数的单调性相同(同增或同减),则y=f(u(x))为这个区间上的增函数。

(2)如果在一个区间上以u为变量的外层函数y=f(u)和以x为变量的内层函数的单调性相反(“内增外减”或“内减外增”),则y=f(u(x))为这个区间上的减函数。


函数单调性性质:

1.函数 f(x) 与 f(x)+C ( C 为常数)具有相同的单调性;

2.k>0 时,函数 f(x) 与 k·f(x) 有相同的单调性; k<0 时,函数 f(x) 与 k·f(x) 的单调性相反;

3.当函数 f(x) 恒为非负时,函数 f(x) 与 √f(x) 具有相同的单调性;

4.当函数 f(x)恒不为0时 ,则函数 f(x) 与 1/f(x) 的单调性相反;

5.当函数 f(x)、g(x)  都是增(减)函数时, f(x)+g(x)  也是增(减)函数,增函数-减函数=增函数;

6.若函数 f(x)、g(x)  都是增(减)函数时,当函数 f(x)、g(x)  都恒大于0时, f(x)·g(x) 也是增(减)函数;当函数 f(x)、g(x)  都恒小于0时, f(x)·g(x) 是减(增)函数。


具体如下:

1.函数运算后单调性:

增函数f (x) + 增函数g (x)是增函数;

减函数f (x) + 减函数g (x)是减函数;

增函数f (x) - 减函数g (x)是增函数;

减函数f (x) - 增函数g (x)是减函数;

乘法规则如下:

20190908102232844.png

20190908102255668.png


2.复合函数单调性:

1716115572531.png

二、函数的奇偶性

奇偶性是函数的基本性质之一。

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数。

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数。

设函数f(x)的定义域D;

1.如果对于函数定义域D内的任意一个x,都有f(x)=-f(x),那么函数f(-x)就叫做奇函数。

2.如果对于函数定义域D内的任意一个x,都有f(x)=f(-x),那么函数f(-x)就叫做偶函数。

3.如果对于函数定义域D内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。

4.如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。

说明:

(1)奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言。

(2)奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。

(分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)

(3)判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义、变式。


奇偶函数变式:

奇:f(x)+f(-x)=0; f(x)*f(-x)=-f2(x); f(x)/f(-x)=-1

偶:f(x)-f(-x)=0; f(x)*f(-x)=f2(x); f(x)/f(-x)=1


对奇(偶)函数的理解:

1.奇(偶)函数的定义域关于原点对称;

2.若奇函数在x=0有意义,则f(0)=0;

3.奇函数在[a, b]和[-b, -a]上有相同的单调性,偶函数在[a, b]和[-b, -a]上有相反的单调性。

奇偶函数具体性质及常见函数如下:

常见的奇函数:


1715413074902.png

奇函数的常见性质:

1.函数定义域关于原点(或y轴)对称;

2.函数图像关于原点对称;

3.如果定义域内x=0有意义,一定有f(0)=0;

4.函数在对称区间的单调性一致;

5.在对称点的极值(或最值)是相反的。


常见的偶函数:

1715413120261.png

偶函数的常见性质:

1.函数的定义域关于y轴对称;

2.图像关于y轴对称;

3.在对称区问的单调性是相反的;

4.在对称点的极值(或最值)是相同的。

函数奇偶性运算法则:

1.奇函数+奇函数=奇函数

2.偶函数+偶函数=偶函数

3.奇函数x(或÷)奇函数=偶函数

4.奇函数x(或÷)偶函数=奇函数

5.偶函数x(或÷)奇函数=奇函数

6.偶函数x(或÷)偶函数=偶函数

7.复合函数的奇偶性:

复合函数的奇偶性:内偶则偶,内奇同外;几个函数复合,只要有一个是偶函数,结果是偶函数;若无偶函数则是奇函数。

也就是:只要有偶函数则复合函数为偶函数,如一奇一偶为偶;若只有奇函数则复合函数为奇函数,无论奇数个还是偶数个,如两奇仍为奇。



三、函数的周期性

1.若存在一非零常数T,对于定义域内的任意x,使f(x)=f(x+T) 恒成立,则f(x)叫作周期函数,T叫作这个函数的一个周期。

2.假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b),其中a+b=T),则说T是函数的一个周期,T的整数倍也是函数的一个周期。

3.周期函数性质:

(1)若T(≠0)是f(X)的周期,则-T也是f(X)的周期。

(2)若T(≠0)是f(X)的周期,则nT(n为任意非零整数)也是f(X)的周期。

(3)若T1与T2都是f(X)的周期,则T1±T2也是f(X)的周期。

(4)设周期函数y=f(x)的周期(最小正周期)为T,则f(x+nT)=f(x),f(x-nT)=f(x)。这里的n可以是任意整数。

(5)设周期函数y=f(x)的周期(最小正周期)为T,则y=f(x)+b、y=Af(x)、y=Af(x)+b,(注:A不等于0),都是最小正周期为T的周期函数。

(6)设周期函数y=f(x)的周期(最小正周期)为T,则y=f(wx)+b、y=Af(wx)、y=Af(wx)+b都是周期函数,并且最小正周期为“T/|w|”。(注:A、w都不为0)

(7)若f(X)有最小正周期T*,那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

(8)T*是f(X)的最小正周期,且T1、T2分别是f(X)的两个周期,则 (T1+T2)/T*∈Q(Q是有理数集)

(9)周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。

4.高中数学常见的周期函数的周期

(1)y=sinx ,最小正周期T=2π;y=|sinx|,最小正周期T= π。

(2)y=cosx,最小正周期T=2π;y=|cosx|,最小正周期T= π。

(3)y=tanx,最小正周期T=π;y=cotx,最小正周期T=π。

(4)y=Asin(wx+φ)+b,最小正周期T=2π/|w|。(注:“A”、“w”为非0常数,下同。)

(5)y=Acos(wx+φ)+b,最小正周期T=2π/|w|。

(6)y=Atan(wx+φ)+b,最小正周期T=π/|w|。

(7)常函数“y=c(c为常数)”,是以任意非零常数为周期的周期函数。

(8)抽象函数的周期性:

设函数y=f(x),x∈R,a>0.

①若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2a;

②若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2a;

③若f(x+a)=1/f(x),则函数的周期为2a;

④若f(x+a)=-1/f(x),则函数的周期为2a;

⑤函数关于直线x=a与x=b对称,那么函数的周期为 2|b-a|;

⑥若函数关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数的周期是2|b-a|;

⑦若函数关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数的周期是4|b-a|;

⑧若函数f(x)是偶函数,其图像关于直线x=a对称,则其周期为2a;

如果是奇函数,其图像关于直线x=a对称,则其周期为4a;


【注】一般情况下,如果一个周期函数有最小正周期的话,“周期”通常指的都是这个周期函数的“最小正周期”。常函数没有最小正周期。


四、函数的对称性

(一)轴对称

函数轴对称的定义:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。
轴对称常见的形式:

图片

备注:对结论①,如果a=0时,则f(x)关于x=0对称 ,则此时f(x)为偶函数


(二)中心对称

函数中心对称定义:如果一个函数的图像沿一个点旋转180°,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。

中心对称常见的形式:

图片

备注:对结论①,如果a=0时,则f(x)关于原点对称,则此时f(x)为奇函数


轴对称和点对称的区别:

1.轴对称

对于函数来说,如果在x=a这条直线的两边,向左一个x,向右一个x,它们的函数值相等.

此时,我们就说这个函数关于x=a轴对称。

2.点对称对于一个点(a,b),向左一个x,向右一个x,它们的函数值相加是这个点函数值的二倍,我们就说这个函数关于点(a,b)对称。


偶函数对称性:

定义:如果对于任意x,有f(-x) = f(x)。

公式:f(x)是偶函数 ⇔ f(-x) = f(x)

奇函数对称性:

定义:如果对于任意x,有f(-x) = -f(x)。

公式:f(x)是奇函数 ⇔ f(-x) = -f(x)

x轴对称性(关于x轴对称):

定义:如果对于任意x,有f(x) = f(-x)。

公式:函数f(x)关于x轴对称 ⇔ f(x) = f(-x)

y轴对称性(关于y轴对称):

定义:如果对于任意x,有f(-x) = -f(x)。

公式:函数f(x)关于y轴对称 ⇔ f(-x) = -f(x)

原点对称性(关于原点对称):

定义:如果对于任意x,有f(-x) = -f(x)。

公式:函数f(x)关于原点对称 ⇔ f(-x) = -f(x)

旋转对称性:

定义:函数在某个旋转角度下保持不变。

公式:f(x ± a) = f(x),其中a是旋转角度。


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常见抽象函数对称:



奇偶性,对称性和周期性的关联

1.f(x+a)=f(b-x)且 f(x)是奇函数,则f(x)是周期函数,且T=2|a+b|

2.f(x+a)=-f(b-x)且 f(x)是奇函数,说明f(x)是周期函数,且T=|a+b|

3.f(x+a)=f(b-x)且 f(x)是偶函数,说明f(x)是周期函数,且T=|a+b|

4.f(x+a)=-f(b-x)且f(x)是偶函数,说明f(x)是周期函数,且T=2|a+b|


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