凸四边形存在内切圆的充分必要条件是对边之和相等。

具体来说，有凸四边形ABCD，如下图所示。那么，存在内切圆的充分必要条件是AB＋CD = BC＋DA。

（1）必要性就是从凸四边形内切圆存在推导出对边之和相等（AB＋CD = BC＋DA）。这个很容易。因为圆外一点到圆所作两条切线相等，一下子就可以得出结论。

（2）下面重点证明充分性。

充分性是从凸四边形对边之和相等（AB＋CD = BC＋DA）推导凸四边形内切圆存在。① 若AB=AD，则CD=BC，这时的四边形成为“筝形”，其内切四边形存在很容易得出。下面不妨设AB≠AD，从而CD≠BC。不失一般性，可以设AB>AD，从而CD<BC。

② 如上图所示。在BC上截取CD'=CD。在AB上截取AD"=AD。从而D、D'、D"三点两两连线段构成一个三角形，即图中蓝色三角形DD'D"。

③ 显然三角形CDD'和ADD"都是等腰三角形。所以，由题设条件AB＋CD = BC＋DA可以得出BD'=BD"。从而三角形BD'D"也是等腰三角形。

④ 从而三个等腰三角形CDD'、ADD"和BD'D"的DD'、DD"、D'D"边上的中垂线相交于一点，设其为O（它也是三角形DD'D"外接圆的圆心）。

⑤ 因为等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线（也是中线，但这里不需要），所以三个等腰三角形CDD'、ADD"和BD'D"顶角的平分线相交于一点，也就是点O。

⑥ 根据角平分线到角两边距离相等，得到点O到AD、AB、BC、CD的距离都相等，从而凸四边形内切圆存在（图中红色圆）。另一种证明充分性的方法是反证法，即假设一个圆与凸四边形三条边相切（这是肯定可以做到的），而第四条边要么与这个圆相离，要么相交。两种情况下都可以通过作第四条切线的方法再加上题设条件AB＋CD = BC＋DA，推导出矛盾的结论，从而证明出这个圆必与四条边都相切。

证明如下：如下图所示，过点A作圆的切线，切线与BC交于点B'。于是，根据本定理的必要性，有AB'＋CD = B'C＋DA。又有题设条件AB＋CD = BC＋DA。后式减前式，得到AB－AB' = BC－B'C = BB'。也就是AB = AB'＋BB'，而这显然与三角形ABB'中两边之和大于第三边矛盾。