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换元法求解三大类无理函数的值域

英才学习2年前 (2022-02-18)不等式532

有界性

根据正弦函数，余弦函数自身的有界性，确定已知函数的最值。

辅助角公式

配方法

观察三角函数表达式，首先通过三角的恒等变换，得到一个关于sinx或者cosx的二次函数结构式，再利用二次函数的性质求最值。

换元法

对于表达式中同时出现sinx±cosx，sinx∙cosx，需要运用(sinx±cosx)²= 1±2sinxcosx的关系式，采用换元的方式转化为二次函数求最值，不过在换元的过程中务必保证旧的变量和新的变量的范围一致。

数形结合法

数形结合的思想是首先根据函数表达式找到它所代表的几何意义，再根据几何意义对其最值进行求解

1直线斜率型

在三角函数中，应用数形结合法的绝大部分函数表达式特点为一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。通常这类表达式所代表的的几何意义为一个动点与定点连线的斜率。

2向量夹角型

通过对函数表达式的变形，构造向量的夹角公式求解最值。

基本不等式法

通过三角函数的两个重要等式sin²x+cos²x=1和tanx=sinx/cosx，对表达式进行化简，为使用基本不等式创造了条件。

导数法

通过对函数表达式求导，确认函数的单调性，最终得出函数的最值情况。

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