初中数学：逆等线几何模型问题分析

一、模型定义

如下图，等腰三角形ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=CF，连结EF，称EF为等腰三角形ABC的逆等线。

由于AE与CF没有首尾相连，所以一般通过平移、构造全等三角形等方法转移线段，使它们产生联系。

二、逆等线最值分析

如上图，固定的△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求BE+CD的最小值。

通过构造全等三角形，△CEF≌△ADC，使D、E双动点转化成单动点，BE+CD转化成BE+EF，最小值就是定点B、F间的距离。

具体题目中会给出一些特殊角度，便于计算BF的长度。

逆等线几何模型最常见的是等边三角形，等腰三角形，直角三角形。

三、具体案例

1.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F分别是腰AB，AC上的点，且AE=CF，ADL EF，求证：EF=AD.

思路1：

过F作FG//AB如图3，过F作FG∥AB，且使FG=EA，连接AG、CG，显然四边形AEFG为平行四边形.由题意知GF=

AE=CF，∠ACG=∠ABD=45°，又因为∠BAD=

∠CAG，所以△ABD△ACG（AAS），于是得AD=AG=EF，故命题成立.

思路2：过E作EG//AC.

如图4，过E作EG∥AC，且使GE=AE，连接AG、BG，则△EBG≌△AFE（SAS），所以BG=FE，∠EBG

=∠AFE=∠BAD，于是GB//AD.又因为∠GAB=

∠ABD=45°，所以AG//BD，从而得四边形AGBD是平行四边形，得AD=BG=EF，故命题成立.

本题证明还很多，这里不再提供了。

2.

主要步骤：过C作平行AB，作FC=AC，从而等到全等，即CD=EF，在三角形EFB中，E、F、B共线就能够得到最短路径，这样的思路不可谓不妙。

3.

在直角三角形中一样用这个思路，并不需要特别的过B作平行，得到∠A=∠FCB'，本身题目给出AE=BF，SAS部分就差另外一组领边，截取BC‘=AC，褐色和粉色全等。

三角形CFC'中，CF+FC'≥CC'，只有共线下才能有最短，矩形可以得到CC'=AB

4.

含有60°的菱形，构建角度是解决这题的关键，利用相等的线段BF=DF，∠ABF=30°，过D作DA'⊥CD,得到∠A'DE=30°，截取A'D=AB，得到粉色和褐色全等。

四、思考题

1.

2.

3.如图△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，E、F分别在AB、AC上，且AE=CF，AD⊥EF交BC于D，求证EF=AD。

把EA平移到FG，连接CG、AG，则四边形AEFG是平行四边形，AG=EF。△FCG是等腰直角三角形，∠ACG=45°。

因为∠CAG=∠BAD，AB=AC，∠ACG=45°=∠B，所以△ACG≌△ABD(ASA)，AG=AD，所以EF=AD。

4.等边△ABC的边长是6，E、F是AB、AC边上的动点，且AE=CF，求EF的最小值。

利用条件AE=CF，构造△CDF≌AFE。

如图，过C作CD∥AB，且CD=AF，则∠DCF=∠FAE，△CDF≌△AFE(SAS)，所以DF=EF。

易知四边形BCDE是平行四边形，所以DE=BC=6。

EF+DF=2EF≥DE，当EFD三点共线时取等号(此时EF∥BC)。所以EF的最小值是3。

5.如图△ABC，∠ABC=60°，点D、E分别在BC、AC上，且AE=CD，若AB=4，AC=5，求AD+BE的最小值。

利用AE=CD，构造△AEF≌CDA，把AD转移到EF，则与BE相连。

过点A作AF∥BC，且AF=AD。则∠EAF=∠C，所以△AEF≌△CDA(SAS)，所以AF=AC=5。

转化成BE+EF的最小值，且B、F都是定点，BE+EF≥BF

接下来求出BF即可。延长FA，过B作BG⊥FA于点G，则∠ABG=30°，AG=2，GF=7，BG=2√3。

BF²=BG²+GF²=12+49=61，所以BF=√61，即AD+BE的最小值是√61。

6.如图△ABC，∠BAC=90°，点D、E是BC边上的动点，且BD=CE，若BC=5，求AD+AE的最小值。

利用BD=CE，构造△BDF≌CEA，把AE转移到DF，则与AD相连。

过B作BF∥AC，BF=AC，则∠DBF∠C，所以△BDF≌△CEA(SAS)，所以BF=AC，DF=AE。

AD+AE=AD+DF≥AF。

接下来求出AF即可。易知△ABF≌△BAC(SAS)，所以AF=BC=5，即AD+AE的最小值是5。

7.如图，矩形ABCD，AB=3，AD=4，点E、F分别是线段AC、BC上的动点，且AE=CF，求DE+DF的最小值。

利用AE=CF，构造△AGE≌CDF，把DF转移到EG，则与DE相连。

过点A作AG⊥AC，且AG=CD。则△AGE≌△CDF(SAS)，所以AG=CD=3。

转化成DE+EG的最小值，且G是定点，DE+EG≥DG

接下来求出DG即可。延长DA，过G作GH⊥DA于点H，则△GAH∽△ACD(一线三垂直)，AC=5，容易求出AH=9/5，GH=12/5，所以DH=29/5，直角△DHG中根据勾股定理求出DG=√985 / 5。

8.如图，矩形ABCD，AB=2，AD=1，G是AB中点，E、F分别是AD、CD边上的动点，且CF=2AE，求GF+2BE的最小值。

此题给的是线段的2倍关系，不能构造全等，但是可以构造相似。

利用CF=2AE，构造△CHF∽△ABE，把2BE转移到FH，则与GF相连。

延长BC至H，使CH=2AB，则△CHF∽△ABE，所以FH=2BE。

GF+2BE≥GH。

接下来求出GH即可。GB=1，BH=BC+CH=1+4=5，根据勾股定理可得GH=√26。