初中数学：几何-倍长中线模型

一、模型分类

【模型1】倍长

1.倍长中线；

条件：AD为△ABC的中线，延长AD至点E,使DE=AD,

结论：△ABD≅△EDC.

2.倍长类中线；

条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点），连接ED并延长，使DF=DE,连接CF,

结论：△FCD≅△EBD.

3.中点遇平行延长相交

条件：AB∥CD,E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点），连接FE并延长，交DC的延长线于点G,

结论：△AFE≅△CGE,

【模型2】遇多个中点，构造中位线

1.直接连接中点；

2.连对角线取中点再相连

二、典型案例分析

例1.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB=4,AC=8,则中线AD的取值范围是_________.

分析：倍长中线，将已知边和倍长后的边转化为同一三角形中，运用三边关系求范围.

解答：

如图，延长AD到点E,使AD=DE,连接CE.

∵点D是BC的中点，

∴BD=DC.

在△ADB和△EDC中，

AD=DE;∠ADB=∠EDC;BD=DC.

∴ADB≅△EDC(SAS),

∴CE=AB=4,

∴AC-CE=8-4=4,

AC+CE=12,

根据三角形的三边关系，得4<AE<12,

∵AE=2AD,

∴2<AD<6.

小结：

1.三角形的三边关系是求线段范围的常用方法.

2.出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化.

例2.如图，已知D为△ABC的边BC的中点，DE⊥DF,则BE+CF(       )

A.大于EF          B.小于EF

C.等于EF          D.与EF的大小关系无法确定

分析：倍长中线ED,构造全等三角形，将BE,CF和EF转移到同一个三角形中.

解：延长ED到G,使DG=ED,连接CG,FG.由BD=CD,∠BDE=∠CDG,可得△BED≅△CGD,∴CG=BE,∵DE⊥DF,DG=ED,∴EF=FG.在△FCG中，CF+CG>FG,∴BE+CF>EF,

答案为A.

小结：

1.出现中点时，常考虑倍长与中点相关的线段，构造全等三角形.

2.出现垂直关系时，常考虑倍长直角边，构造等腰三角形.

例3.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F,AF=EF.

求证：AC=BE.

证明：

方法一：倍长中线

如图，延长AD到点G,使DG=AD,连接BG.

在△ADC和△GDB中，

AD=DG,∠ADC=∠GDB,DC=DB,

∴△ADC≅△GDB.(SAS)

∴∠CAD=∠G,BG=AC.

∵AF=EF,

∴∠AEF=∠CAD.

∴∠AEF=∠G.

∵∠BEG=∠AEF,

∴∠BEG=∠G.

∴BE=BG.

∴AC=BE.

方法二：倍长类中线

如图，延长AD到点G,使DG=ED,连接CG.

在△BDE和△CDG中，

DE=DG,∠EDB=∠GDC,BD=CD,

∴△BDE≅△CDG.(SAS)

∴∠BED=∠G,BE=GC.

∵∠BED=∠AEF,

∴∠AEF=∠G.

∴∠AEF=∠G.

∵AF=EF,

∴∠AEF=∠CAD.

∴∠G=∠CAD.

∴AC=CG.

∴AC=BE.

三、课后练习

1.如图，在△ABC中，AB=12,AC=20,求BC边上中线AD的范围.

2.

3.如图，已知D为线段BC的中点，AB=CE.

求证：∠A=∠CED.

4.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于点F.

求证：AF=EF.

5.如图1，已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.

(1)求证：四边形ABCD为矩形。

(2)E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE.

①如图2，若F为AD中点，DF=1.6,求CF的长度；

②如图2，若CE=4,CF=5,则AF+BC=______,AF=________.