初中数学：几何“十字架”模型解析

“十字架模型”是数学平面几何中比较重要的一个模型。常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。

在矩形或正方形中，具有“两条互相垂直的线段（四个端点分别在四条边上）”是这类题目的关键条件，我们称之为“内十字架”模型.

一、正方形中的“十字架”模型

我们先从正方形了解什么是“十字架”模型，见下图：

图一：

正方形中BD、AD垂直，BE、AF也垂直

那么BD和AD、BE和AF是否相等？

结论是相等的。

可以通过全等来证明。

那么我们可以得出下面结论：

在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段①若垂直，则相等.②若相等，则垂直.

二、矩形中的“十字架”模型

图二：

我们可以得出很多相似三角形，这边我们就不一一讲述。

那么我们可以得出下面结论：

在矩形十字架模型中，若在矩形对边上分别取点并相连，所得两条线段若垂直，则十字架之比与矩形邻边“成比例”

比如图二：AC/CD=EF/CB

具体结论如下:

三、三角形中的“十字架”模型

通过延长构造平行四边形（三角形），然后利用相似、全等进行求解。具体见下面几个案例。

案例1：

三种解题思路：

第一种思路，作AG∥BC与CE延长线交于点G，构造相似，借助垂直导角，利用正切或相似求出AG即可。此种解法不用设未知数，计算更简便，求AE与BE的比，然后按比例分配即可。

第二种思路，作BG∥AC与CE延长线交于点G，构造相似，借助垂直导角，利用正切或相似求出AG即可。同样不用设未知数，计算更简便。此种思路其实跟第一种方法几乎一样。

第三种思路：作DG⊥AB，构造△BGD和△BFE相似，或利用余弦值相等求解即可。这种就是爆算，技巧性不强，但对于解题也是万能，至少考试做对就给分。

案例2：

方法一：平行四边形+共圆

分别作AD、DE的平行线交于点F，

则ADEF为平行四边形，∠FEC=∠DAE=60°，

而AD=EC，AD=EF得EF=EC，故∠ECF=30°

故∠HCF=90°，

而AF||DE，故∠BAF=90°，

得A、F、C、H共圆，∠AFH=∠ACH=60°，

故AH=AF，AF=DE，故AH=√(3)DE

方法二：相似三角形

作DG、AI、EJ垂直于BC于点G、I、J

作EF⊥DG于点F

易知△AHI~△EDF

而EF=GJ=BC-BG-JC=BC-(1/2)BD-(1/2)EC

=BC-(1/2)（BD+EC）=BC-(1/2)（BD+AD）=(1/2)BC，

而AI=√(3)BI=(√(3)/2)BC，即有AI=√(3)EF

故AH=√(3)DE

我们常见的“十字架”题型较多，归根到底就是通过构造全等或者相似三角形来进行求解。