指数（函数）与对数（函数）的同构异构

一、指数（函数）与对数（函数）同构

类型1：函数y= xe^x 与函数y= xlnx,它们可以从以下三个角度同构:

(1)将函数y= xe^x 变形为y=e^xlne^x,与函数y=xlnx 同构;

(2)将函数y= xln x 变形为y=(lnx)e^lnx,与函数y=xe^x 同构;

(3)将函数y= xe^x 与函数y= xln x 分别取对数得:y=x+ln x 和y=ln x+ln(ln x),与函数y=x+ln x 同构.

类型2：函数y=与函数y=它可以从以下三个角度同构:

(1)将函数y=变形为y=与函数y=同构;

(2)将函数y= 变形为y=,与函数y=同构;

(3)将函数与函数分别取对数得:y=x −ln x 和y=ln x −ln(ln x),与函数y=x −ln x 同构.

类型3：y=ex±x 与函数y= x±ln x,它可以从以下两个角度同构:

(1)将函数y=ex ±x 变形为y=ex ±ln ex,与函数y=x±ln x 同构;

(2)将函数y= x±ln x 变形为y=elnx ±ln x,与函数y=ex±x 同构.

同构式问题中通常构造亲戚函数xe^x与xlnx，常见模型有：

①a^x>log_a^x⇒e^xlna>lnx/lna⇒xlna⋅e^xlna>xlnx=lnx⋅e^lnx⇒xlna>lnx⇒a>e^1/e

②e^λx>lnx/λ⇒λe^λx>lnx⇒λx⋅e^λx>xlnx⇒λx⋅e^λx>lnx⋅e^lnx⇒λx>lnx⇒λ>1/e

③e^ax+ax>ln(x+1)+x+1=e^ln(x+1)+ln(x+1)⇒ax>ln(x+1)

二、指数（函数）与对数（函数）异构