高中数学：抽象函数求单调性问题

一般来说，对于函数的单调性的证明方法，应该使用定义法和导数法，但是导数法是有缺陷的，因为它往往需要依托解析式才可以证明，故针对抽象函数的单调性的证明方法，就只能使用定义法了。

比如需要证明增函数，常常令 x₁<x₂，然后想办法证明 f(x₁)−f(x₂)<0；

注意涉及抽象函数的单调性的变形技巧；

典例剖析

1.【定义法】【抽象函数的单调性 - 变形 1】

定义在 R上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)−1，且 x>0 时，f(x)<1，判定函数单调性。

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注意变形：f(x₂)=f[(x₂−x₁)+x₁]=f(x₂−x₁)+f(x₁)−1

2.【定义法】【抽象函数的单调性 - 变形 2】

已知定义在 (0，＋∞)上的函数 f(x)，满足 f(xy)＝f(x)＋f(y)，且x＞1时，f(x)＜0，判断函数 f(x)的单调性。

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注意变形：f(x₂)=f[(x₂/x₁)⋅x₁]=f(x₂/x₁)+f(x₁)

3.【定义法】【抽象函数的单调性 - 变形 3】

已知函数 f(x)的定义域为 R，对任意实数 m，n 都满足 f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2，且 f(1/2)=0，当 x>1/2时，f(x)>0；

（1）求 f(1)；

（2）判断函数 f(x)的单调性，并证明。

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解后反思：为了利用条件 x>1/2 时，f(x)>0，故变形 f(x₂−x₁)=f[(x₂−x₁+1/2)+(−1/2)]

4.【定义法】

函数 f(x)对任意的 m，n∈R，都有 f(m+n)=f(m)+f(n)−1，并且 x>0，恒有 f(x)>1。

（1）求证：f(x)在 R上是增函数；

（2）若 f(3)=4，解不等式 f(a²+a−5)<2。

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5.【定义法】

已知函数 f(x)的定义域为 （0,+∞），且对任意的正实数 x，y都有 f(xy)=f(x)+f(y)，并且当 x>1 时，恒有 f(x)>0，f(4)=1，

(1). 求证：f(1)=0；

(2). 求 f(1/16)；

(3). 解不等式 f(x)+f(x−3)⩽1 .

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f(x₂/x₁⋅x₁)=f(x₂/x₁)+f(x₁)是已知公式的正用，
f(x)+f(x−3)=f[x⋅(x−3)] 是已知公式的逆用。 

6.【定义法】

已知函数 f(x)在 R上的图像是连续不断的一条曲线，当 x>0 时， f(x)<2， 对任意的 x， y∈R， f(x)+f(y)=f(x+y)+2成立，若数列 {a_n}满足 a₁=f(0)， 且 f(a_n+1)=f(a_n/(a_n+3))，n∈N₊， 则 a₂₀₁₈的值为【】

A.2    B.6/(2×3²⁰¹⁷−1)   C.2/(2×3²⁰¹⁷−1)   D.2/(2×3²⁰¹⁶−1)

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7.【定义法】

已知函数f(x)对任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时，f(x)<0，f(1)=-2/3。

（1）求证：f(x)是R上的减函数；

（2）求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值。

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8.【定义法】

定义在（0,+∞）上的函数f(x),满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(1/3)=1,当x>1时，f(x)<0

(1)求f(1);

(2)判断并证明f(x)的单调性；

(3)解关于x的不等式f(x)+f(x-2)>-1。

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