当前位置:首页 > 高中数学 > 函数 > 正文内容

高中数学:抽象函数求单调性问题

英才学习2个月前 (05-27)函数232

高中数学:抽象函数求单调性问题


一般来说,对于函数的单调性的证明方法,应该使用定义法和导数法,但是导数法是有缺陷的,因为它往往需要依托解析式才可以证明,故针对抽象函数的单调性的证明方法,就只能使用定义法了。

比如需要证明增函数,常常令 x1<x2,然后想办法证明 f(x1)−f(x2)<0;

注意涉及抽象函数的单调性的变形技巧;

典例剖析

1.【定义法】【抽象函数的单调性 - 变形 1】

定义在 R上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)−1,且 x>0 时,f(x)<1,判定函数单调性。

此处为隐藏内容,请评论后查看隐藏内容,谢谢!

注意变形:f(x2)=f[(x2−x1)+x1]=f(x2−x1)+f(x1)−1


2.【定义法】【抽象函数的单调性 - 变形 2】

已知定义在 (0,+∞)上的函数 f(x),满足 f(xy)=f(x)+f(y),且x>1时,f(x)<0,判断函数 f(x)的单调性。

此处为隐藏内容,请评论后查看隐藏内容,谢谢!

注意变形:f(x2)=f[(x2/x1)⋅x1]=f(x2/x1)+f(x1)



3.【定义法】【抽象函数的单调性 - 变形 3】

已知函数 f(x)的定义域为 R,对任意实数 m,n 都满足 f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2,且 f(1/2)=0,当 x>1/2时,f(x)>0;

(1)求 f(1);

(2)判断函数 f(x)的单调性,并证明。


此处为隐藏内容,请评论后查看隐藏内容,谢谢!

解后反思:为了利用条件 x>1/2 时,f(x)>0,故变形 f(x2−x1)=f[(x2−x1+1/2)+(−1/2)]


4.【定义法】

函数 f(x)对任意的 m,n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)−1,并且 x>0,恒有 f(x)>1。

(1)求证:f(x)在 R上是增函数;

(2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a−5)<2。


此处为隐藏内容,请评论后查看隐藏内容,谢谢!


5.【定义法】

已知函数 f(x)的定义域为 (0,+∞),且对任意的正实数 x,y都有 f(xy)=f(x)+f(y),并且当 x>1 时,恒有 f(x)>0,f(4)=1,

(1). 求证:f(1)=0;

(2). 求 f(1/16);

(3). 解不等式 f(x)+f(x−3)⩽1 .


此处为隐藏内容,请评论后查看隐藏内容,谢谢!


f(x2/x1⋅x1)=f(x2/x1)+f(x1)是已知公式的正用,
f(x)+f(x−3)=f[x⋅(x−3)] 是已知公式的逆用。 


6.【定义法】

已知函数 f(x)在 R上的图像是连续不断的一条曲线,当 x>0 时, f(x)<2, 对任意的 x, y∈R, f(x)+f(y)=f(x+y)+2成立,若数列 {an}满足 a1=f(0), 且 f(an+1)=f(an/(an+3)),n∈N+, 则 a2018的值为【】

A.2    B.6/(2×32017−1)   C.2/(2×32017−1)   D.2/(2×32016−1)


此处为隐藏内容,请评论后查看隐藏内容,谢谢!


7.【定义法】

已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2/3。

(1)求证:f(x)是R上的减函数;

(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值。

此处为隐藏内容,请评论后查看隐藏内容,谢谢!


8.【定义法】

定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(1/3)=1,当x>1时,f(x)<0

(1)求f(1);

(2)判断并证明f(x)的单调性;

(3)解关于x的不等式f(x)+f(x-2)>-1。

此处为隐藏内容,请评论后查看隐藏内容,谢谢!



扫描二维码推送至手机访问。

特别声明:

本站属于公益性网站,纯粹个人原因(陪孩子学习便于查询和教授),网站部分内容收集于网络,仅供学生和老师参考、交流使用,请勿用作其他商业收费用途

如果网站内容能给你带来提升,那便是我经营此网站的初衷。网站相关内容如有问题,请及时提出,我在此谢谢!

本站尊重原创并对原创者的文章表示肯定和感谢,如有侵权请联系删除!针对本站原创内容,本站也欢迎转载,如需转载请注明出处。

本文链接:https://yc8.com.cn/wenzhang/202405/4288.html

分享给朋友:

“高中数学:抽象函数求单调性问题” 的相关文章

发表评论

访客

看不清,换一张

◎欢迎参与讨论,请在这里发表您的看法和观点。