数论：最大整数 -  Gauss高斯（取整）函数、小数函数

一、定义

Gauss函数（高斯（Gauss）函数）：[x]

设 x∈R，[x] 表示不超过 x的最大整数，即[x]≤x<[x]+1 ，且 [x]∈Z

我们称y=[x]为高斯函数，小数部分： {x}= x−[x]为小数函数

二、高斯函数（取整函数）、小数函数图象

1.y=[x]取整函数图象

2.y=x-[x]={x}小数函数图象

三、Gauss函数的常用性质

(1)对于任意实数x，都有x=[x]+{x}，且{x}<1；

(2)y=[x]的定义域为R，值域为Z；y={x}的定义域为R，值域为[0,1)；

(3)对任意实数x，都有[x]≤[x]<[x]+1，x-1<[x]≤x；

(4)y=[x]是不减函数，若x₁≤x₂，则[x₁]≤[x₂]；

(5)y={x}是以1为最小正周期的周期函数；

(6)[x+n]=n+[x]，{x+n}={x}，其中x∈R，n∈N^*；

(7)[x+y]≥[x]+[y]，{x+y}≥{x}+{y}，[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1 ，等号有且仅有一个成立；

(8)[xy]≥[x][y]；

(9)[x/n]=[[x]/n]，其中x∈R，n∈N^*；

(10)若x≤y，则[x]≤[y]；

(11)

(12)不小于x的最大整数是 −[−x]

(13)设a和N是正整数，那么正整数 1,2,...,N中被a整除的正整数有个