函数的对称性与周期性常用结论

一、函数周期性

函数的周期性定义：若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫作周期函数，T叫作这个函数的一个周期。

周期函数性常用结论

【函数周期与自对称记忆口诀:括号内，差定周，和定对】

对 f(x)定义域内任一自变量的值 x:

1.f(x+T)=f(x)↔y=f(x)的周期为 T;

2.f(x+a)=f(x+b)<y=f(x)的周期T=|a-b|;

3.f(x+a)=-f(x+b)↔y=f(x)的周期T=2|a-b|;

4.f(x+a)=-f(x)↔y=f(x)的周期T=2|al;

5. f(x+a)=±m/f(x)↔y=f(x)的周期T=2lal;

6. f(x+a)=(1-f(x))/(1+f(x))↔y=f(x)的周期T=2lal;

7.f(x+a)=(1+f(x))/(1-f(x))↔y=f(x)的周期T=4|al;

二、函数对称中心

‌‌对称中心‌是指一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心。在数学中，对称中心是函数图像上任意一点关于某一点对称的点也在函数图像上，这个点就是函数的对称中心。

‌对称性公式‌：

如果一个函数满足f(a+x)=f(b-x)，则函数关于直线x=(a+b)/2对称；

如果f(a+x)+f(b-x)=c，则函数关于点((a+b)/2,c/2)对称。

‌奇函数‌：奇函数的图像关于原点中心对称，对称中心为(0,0)。

对于一般情况，如果对任意x∈D，f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数f(x)关于点(a,b)对称。

‌特殊函数‌：

正弦函数y=sinx的对称中心为(kπ,0)；

余弦函数y=cosx的对称中心为(kπ+π/2,0)；

正切函数y=tanx的对称中心为(kπ/2,0)，其中k∈Z。

‌三次函数‌：对于三次函数y=ax³+bx²+cx+d，其对称中心为(-b/3a,f(-b/3a))。

函数自对称常用结论

【函数周期与自对称记忆口诀:括号内，差定周，和定对】

轴对称

f(a+x)=f(b-x)↔y=f(x)关于x=(a+b)/2对称。

推论1:f(a+x)=f(a-x)↔y=f(x)关于x=a对称;

推论2:f(x)=f(2a-x)↔y=f(x)关于x=a对称;

推论3:f(-x)=f(2a+x)↔y=f(x)关于x=a对称

中心对称

f(a+x)+f(b-x)=2c↔y= ∫(x)关于点((a+b)/2,c)对称;

推论 1:f(a+x)+f(a-x)=2b ↔y=∫(x)关于点(a,b)对称;

推论 2:f(x)+f(2a-x)=2b ←y=f(x)关于点(a,b)对称;

推论 3:f(-x)+f(2a+x)=2b ←y=f(x)关于点(a,b)对称

三、函数对称性与周期性之间的联系

【用正弦函数 f(x)=sinx的图象帮助理解记忆】

1.两线对称型:

如果定义在R上的函数f(x)有两条对称轴x=a,x=b，则f(x)是周期函数，其中一个周期T=2la-bl;

2.两点对称型:

如果定义在R上的函数f(x)，关于两点(a,c),(b,c),a≠b成中心对称，则f(x)是周期函数，其中一个周期T=2|a-b|;

3.一点一线对称型:

如果定义在R上的函数f(x)关于点(a,0)成中心对称，且关于直线x=b(a≠动)成轴对称，则f(x)是周期函数，其中一个周期T=4la-b|.

四、函数的奇偶性结论

【记忆口诀:奇函数自变量互为相反数，函数值也互为相反数;偶函数自变量互为相反数，函数值相等】

1.若函数 f(ax+b)(a≠0)为奇函数，则f(-ax+b)=-f(ax+b)

2.若函数 f(ax+b)(a≠0)为偶函数，则f(-ax+b)=f(ax+b)