高中数学:复合函数
高中数学:复合函数
一、定义
设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为Dx,值域为Mx,如果Mx∩Du≠Ø,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,这种函数称为复合函数(composite function),记为:y=f[g(x)],其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量(即函数)。
二、性质
1.周期性
设y=f(u)的最小正周期为T1,u=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f[φ(x)]的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).
2.单调(增减)性
决定因素:依y=f(u),u=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增;减+减=增;增+减=减;减+增=减”,可以简化为“同增异减”。
基本步骤:
判断复合函数的单调性的步骤如下:
⑴求复合函数的定义域;
⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);
⑶判断每个常见函数的单调性;
⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;
⑸求出复合函数的单调性。
3.奇偶性
第一种:f(g(h(x)))这种多层的复合函数:
下面我们来看两层复合函数
规律总结为“有偶则偶,全奇才奇”,意思是说:只要内层函数和外层函数中有一个是偶函数,则复合之后一定是偶函数;只有当内层函数和外层函数全是奇函数时,复合之后才是奇函数.
函数中有偶函数,复合函数就是偶函数。
函数中没有偶函数,奇函数的个数是偶数,复合函数就是偶函数。
函数中没有偶函数,奇函数的个数是奇数,复合函数就是奇函数。
第二种:f(x)*g(x)*h(x)这种相乘的复合函数:
奇函数个数是偶数,复合函数就是偶函数。
奇函数个数是奇数,复合函数就是奇函数。
三、复合函数求导
复合函数求导的前提:复合函数本身及所含函数都可导。
复合函数求导法则包括两个部分:链式法则和乘积法则。链式法则告诉我们如何求复合函数的导数,乘积法则则用于计算两个函数的乘积的导数。
链式法则可以表述为:
如果y = f(u)是一个函数,u = g(x)是另一个函数,那么复合函数y = f(g(x))的导数等于f'(u)g'(x)的乘积。其中,f'(u)表示f(u)对u的导数,g'(x)表示g(x)对x的导数。
法则1:设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x);
乘积法则可以表述为:
如果两个函数y = f(x)和z = g(x)的乘积构成复合函数y = f(x)g(x),那么这个复合函数的导数等于各自函数的导数的乘积加上各自函数的乘积的导数。
法则2:设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);
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