高中数学：抽象函数精选习题

例题1：已知函数f(x)定义域为R，函数g(x)=f(x)+x2为奇函数，且g(x+4)=g(x)，求f(-6)的值。

分析：

这是一个典型的抽象函数问题，一般来说可以通过利用函数的各种特性(如：奇偶性、周期性等)进行分析。

现在求f(-6)，但是已知条件并不直接与f(x)有关，而是已知g(x)为奇函数，又是一个周期为4的函数，由这些特性入手不难得到g(-6)，进而得到f(-6)。

解：

由g(x)=g(x+4)得到：

g(-6)=g(-2)=g(2)

由g(x)为奇函数得到：

g(-2)=-g(2)

因此g(2)=-g(2)，即g(2)=0

于是：

g(-6)=f(-6)+36=0

即f(-6)=-36

通过上述解答可以了解到一个事实，即当奇函数g(x)为周期函数时，如周期为T，则g(T/2)=0；

关于这一点，可以拿熟悉的正弦函数sin(x)来类比，sin(x)周期T为2π，显然有sin(T/2)=sin(π)=0。

例题2：例题：已知f(f(x))=x²-3x+4，求f(1)的值。

分析：

这个题看起来简单，按照一般的思路代入特殊值却不能直接凑效。

如果以x=1代入，得到f(f(1))=2，注意到右侧的二次函数对称轴为x=3/2，而1和2显然位于对称的位置，即有f(f(1))=f(f(2))，由于f(f(1))和f(f(2))均等于2，于是想到f(f(f(1)))=f(f(f(2)))=f(2)，这样写一写，似乎有了思路，即联立f(1)和f(2)的二次方程组求解f(1)。下面是详细的解答。

解：

由已知，得：

f(f(1))= 1²-3×1+4=2

f(f(2))= 2²-3×2+4=2

于是有下面的两式：

f(f(f(1)))=f(2)= f(1)²-3 f(1)+4

f(f(f(2)))=f(2)= f(2)²-3 f(2)+4

由后面一式，得到：

f(2)= f(2)²-3 f(2)+4

解得f(2)=2

代入前面一式，即

f(2)= f(1)²-3 f(1)+4

即2= f(1)²-3 f(1)+4

解得：f(1)=1或2

当f(1)=1时，f(f(1))=f(1)=1，与题设f(f(1))=1²-3×1+4=2矛盾，舍去

因此f(1)=2

这个抽象函数的题目，需要注意到对称轴两侧1和2处于对称位置，对应的f(f(x))函数值相等且恰好为2，因此考虑到再进行一次复合嵌套，于是问题得到圆满的解答。

例题3：