拉格朗日中值定理

一、定义

1797年，拉格朗日中值定理由法国数学家约瑟夫·拉格朗日在《解析函数论》中首先提出，并提供了最初的证明。现代形式的拉格朗日中值定理由法国数学家O.博内提出。

拉格朗日中值定理，又称拉氏定理、有限增量定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。

定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系。在研究函数的单调性、凹凸性以及不等式的证明等方面，都可能用到拉格朗日中值定理。

二、定理

1.定理

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得

2.其他变形

拉格朗日中值定理的结论有几种变形：

或令b=x₀+△x,a=x₀,ξ=x₀+θ△x有

若把x₀记成x，则

上面第一式称为拉格朗日中值公式，第二式和第三式称为有限增量公式。

拉格朗日中值定理也称为有限增量定理，视其重要性，又称为微分中值定理。

推理推论

根据拉格朗日中值定理，可以得到下列推论：

推论1：若函数f(x)在区间(a,b)上的任意x点处的导数f'(x)恒等于零，则函数f(x)在区间(a,b)内是一个常数。

推论2：若函数f(x)和g(x)在区间内的每一点导数f'(x)与g'(x)都相等，则这两个函数在此区间内至多相差一个常数。

柯西中值定理被认为是拉格朗日中值定理的推广，它的内容是：

设f(x)和F(x)在上[a,b]连续，在(a,b)上可导，并且F'(x)在[x₀,x]上不为零，这时对于某一点ξ∈(a,b)，有。

三、定理意义

1.几何意义：

若连续曲线y=f(x)在点A(a,f(a))，B(b,f(b))之间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A、B间至少存在一点P(ξ,f(ξ))，使得该点处的切线与割线AB平行。

2.运动学意义

对于曲线运动，在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。

四、其他相关定理

1.罗尔定理

如果函数 f(x) 满足,

1.在闭区间[a,b]上连续

2.在开区间(a,b)可导

3.区间端点出函数值相等, 即 f(a)=f(b)

则有:

在开区间(a,b)内至少存在一点a<ξ<b使得f'(ξ)=0.

2.柯西中值定理

如果函数f(x) ,F(x) 满足,

1.在闭区间[a,b]上连续

2.在开区间(a,b)可导

当x∈(a,b) 时,则有F'(x)≠0