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高中数学:函数 - 常见函数图象及性质

英才学习2个月前 (05-12)函数403

高中数学:函数 - 常见函数图象及性质


特别提示:本篇文章探讨单调性、奇偶性以及零点都是在给定的函数前提下进行的探讨,某些函数通过平移也有对应的零点。

一、一次函数

一次函数图像

对于一次函数 y=kx+b(k≠0):

1.一次函数的单调性:当 k>0 时,函数y=kx+b在区间 (-∞,+∞) 上是增函数;当 k<0 时,函数y=kx+b在区间 (-∞,+∞) 上是减函数。

2.一次函数的奇偶性:当b≠0,该函数为非奇非偶函数,当b=0,该函数为奇函数。

3.一次函数的零点:有且仅有一个,x=-b/k

二、反比例函数

反比例函数图像

对于反比例函数 y=k/x(k≠0):

1.反比例函数的单调性:当 k>0 时,函数在区间 (-∞,0),(0,+∞) 上是减函数;当 k<0 时,函数在区间 (-∞,0),(0,+∞) 上是增函数。

2.反比例函数的奇偶性:该函数为奇函数。

3.反比例函数的零点:不存在零点。


三、二次函数

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对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) :

1.二次函数的单调性:当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 在区间 (-∞,-b/2a] 上是减函数,在区间 [-b/2a,+∞)上是增函数;当 a<0 时,函数 y=ax2+bx+c 在区间 (-∞,-b/2a] 上是增函数,在区间 [-b/2a,+∞)上是减函数。

2.二次函数的奇偶性:当b≠0,该函数为非奇非偶函数;当b=0,该函数为偶函数。

3.二次函数的零点:存在0、1、2个零点,具体根据Δ来判断。当Δ>0时,存在2个零点;当Δ=0,存在1个零点,当Δ<0,存在0个零点。



四、三次函数

对于三次函数y=ax³+bx²+cx+d(a≠0,x∈R):

1.三次函数的单调性:

为了方便研究,我们在此引入导数工具。

f'(x)=3ax²+2bx+c

设f'(x)可能存在的零点为x1,x2且x1<x2

首先我们要讨论导函数开口。分a>0和a<0。(注意,我们之前规定了a不为0)

然后要对导函数的零点讨论。这里我们需要引入判别式Δ=4(b²-3ac)

(1)当a>0时,

①当Δ>0时,

f'(x)存在两零点x1,x2,单调性如下:

f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)单调递增,

f(x)在(x1,x2)单调递增。

可能的图像如下:

1715566059245.png

②当Δ≤0时,

f'(x)≥0恒成立,单调性如下:

f(x)在R上单调递增。

可能的图像如下:

1715566082054.png

(2)当a<0时,

(1)当Δ>0时,

可能的图像如下:

1715566103467.png

(2)当Δ≤0时,

可能的图像如下:

1715566121200.png

2.三次函数的奇偶性:该函数不可能是偶函数。当b=0,d=0时,该函数就会是奇函数。 

3.三次函数的零点:存在1、2、3个零点。具体如下:

特殊情况如下:即函数有两个极值点f(x1)和f(x2)。根据这两个极值点的函数值,我们可以做出以下判断:

如果f(x1)f(x2)>0,则函数f(x)有且只有一个零点。

如果f(x1)f(x2)=0,则函数f(x)有且只有两个零点。

如果f(x1)f(x2)<0,则函数f(x)有且只有三个零点。


五、指数函数

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对于指数函数 y=ax(a>0,且a≠1) :

1.指数函数的单调性:当 0<a<1 时,在 R 上是减函数;当 a>1 时,在 R 上是增函数。

2.指数函数的奇偶性:该函数为非奇非偶函数。

3.指数函数的零点:不存在零点。

六、对数函数

1715566947445.png

对于对数函数 y=logax(a>0,且a≠1) :

1.对数函数的单调性:当 0<a<1 时,在 R 上是减函数;当 a>1 时,在 R 上是增函数。

2.对数函数的奇偶性:该函数为非奇非偶函数。

3.对数函数的零点:x=1。

七、幂函数

幂函数.png

对于幂函数 y=xa :

1.幂函数的单调性:

当a > 0 时,幂函数在第一象限内的图像呈上升趋势,在区间 (0,+∞) 上为增函数;

当a < 0 时,幂函数在第一象限内的图像呈下降趋势,在区间 (0,+∞) 上为减函数;

当a = 0 时,幂函数的图像为不包含点 (0,1) 的直线 y=1 ,函数图象为上下区域的分界线,与 x 轴平行。

2.幂函数的奇偶性:当a为偶数时,幂函数为偶函数;当a为奇数时,幂函数为奇函数。

3.幂函数的零点:幂函数的零点与指数 a 的正负有关,当 a>0 时,幂函数是单调递增的,而且在 x=0 处有零点;当 a<0 时,幂函数是单调递减的,无零点;当 a=0 时,幂函数是常数函数 f(x)=1,此时无零点。



八、幂指函数

幂指函数既像幂函数,又像指数函数,二者的特点兼而有之。

作为幂函数,其幂指数确定不变,而幂底数为自变量;相反地,指数函数却是底数确定不变,而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。这种函数的推广,就是广义幂指函数。

y=xx图像:

在x<0时,函数图象存在“黑洞”——无数个间断点,如下图所示(用虚线表示)。


在x>0时,函数曲线是连续的,并且在x=1/e处取得最小值,约为0.6922,在区间(0,1/e]上单调递减,而在区间[1/e,+∞)上单调递增,并过(1,1)点。

最简单的幂指函数.webp




【知识点:零点】

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做y=f(x)的零点。对于函数零点的定义我们注意以下三点:函数的零点是一个实数,当函数的自变量x取这个实数时,其函数值等于零;函数的零点也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标;求函数的零点就是求方程f(x)=0的实数根。

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