高中数学：函数 - 常见函数图象及性质

特别提示：本篇文章探讨单调性、奇偶性以及零点都是在给定的函数前提下进行的探讨，某些函数通过平移也有对应的零点。

一、一次函数

对于一次函数 y=kx+b(k≠0)：

1.一次函数的单调性：当 k>0 时，函数y=kx+b在区间 （-∞，+∞） 上是增函数；当 k<0 时，函数y=kx+b在区间 （-∞，+∞） 上是减函数。

2.一次函数的奇偶性：当b≠0，该函数为非奇非偶函数，当b=0，该函数为奇函数。

3.一次函数的零点：有且仅有一个，x=-b/k

二、反比例函数

对于反比例函数 y=k/x(k≠0)：

1.反比例函数的单调性：当 k>0 时，函数在区间 （-∞，0），（0，+∞） 上是减函数；当 k<0 时，函数在区间 （-∞，0），（0，+∞） 上是增函数。

2.反比例函数的奇偶性：该函数为奇函数。

3.反比例函数的零点：不存在零点。

三、二次函数

对于二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0) ：

1.二次函数的单调性：当 a>0 时，函数 y=ax²+bx+c 在区间 （-∞，-b/2a] 上是减函数，在区间 [-b/2a,+∞）上是增函数；当 a<0 时，函数 y=ax²+bx+c 在区间 （-∞，-b/2a] 上是增函数，在区间 [-b/2a,+∞）上是减函数。

2.二次函数的奇偶性：当b≠0，该函数为非奇非偶函数；当b=0，该函数为偶函数。

3.二次函数的零点：存在0、1、2个零点，具体根据Δ来判断。当Δ>0时，存在2个零点；当Δ=0，存在1个零点，当Δ<0，存在0个零点。

四、三次函数

对于三次函数y=ax³+bx²+cx+d（a≠0，x∈R）：

1.三次函数的单调性：

为了方便研究，我们在此引入导数工具。

f'(x)=3ax²+2bx+c

设f'(x)可能存在的零点为x₁，x₂且x₁＜x₂

首先我们要讨论导函数开口。分a＞0和a＜0。(注意，我们之前规定了a不为0)

然后要对导函数的零点讨论。这里我们需要引入判别式Δ=4(b²-3ac)

(1)当a＞0时，

①当Δ＞0时，

f'(x)存在两零点x₁，x₂，单调性如下：

f(x)在(-∞，x₁)，(x₂，+∞)单调递增，

f(x)在(x₁，x₂)单调递增。

可能的图像如下：

②当Δ≤0时，

f'(x)≥0恒成立，单调性如下：

f(x)在R上单调递增。

可能的图像如下：

(2)当a＜0时，

(1)当Δ＞0时，

可能的图像如下：

(2)当Δ≤0时，

可能的图像如下：

2.三次函数的奇偶性：该函数不可能是偶函数。当b=0，d=0时，该函数就会是奇函数。 

3.三次函数的零点：存在1、2、3个零点。具体如下：

特殊情况如下：即函数有两个极值点f(x₁)和f(x₂)。根据这两个极值点的函数值，我们可以做出以下判断：

如果f(x₁)f(x₂)>0，则函数f(x)有且只有一个零点。

如果f(x₁)f(x₂)=0，则函数f(x)有且只有两个零点。

如果f(x₁)f(x₂)<0，则函数f(x)有且只有三个零点。

五、指数函数

对于指数函数 y=a^x(a>0，且a≠1) ：

1.指数函数的单调性：当 0<a<1 时，在 R 上是减函数；当 a>1 时，在 R 上是增函数。

2.指数函数的奇偶性：该函数为非奇非偶函数。

3.指数函数的零点：不存在零点。

六、对数函数

对于对数函数 y=log_ax(a>0，且a≠1) ：

1.对数函数的单调性：当 0<a<1 时，在 R 上是减函数；当 a>1 时，在 R 上是增函数。

2.对数函数的奇偶性：该函数为非奇非偶函数。

3.对数函数的零点：x=1。

七、幂函数

对于幂函数 y=x^a ：

1.幂函数的单调性：

当a > 0 时，幂函数在第一象限内的图像呈上升趋势，在区间 （0，+∞） 上为增函数；

当a < 0 时，幂函数在第一象限内的图像呈下降趋势，在区间 （0，+∞） 上为减函数；

当a = 0 时，幂函数的图像为不包含点 (0,1) 的直线 y=1 ，函数图象为上下区域的分界线，与 x 轴平行。

2.幂函数的奇偶性：当a为偶数时，幂函数为偶函数；当a为奇数时，幂函数为奇函数。

3.幂函数的零点：幂函数的零点与指数 a 的正负有关，当 a>0 时，幂函数是单调递增的，而且在 x=0 处有零点；当 a<0 时，幂函数是单调递减的，无零点；当 a=0 时，幂函数是常数函数 f(x)=1，此时无零点。

八、幂指函数

幂指函数既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。

作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。这种函数的推广，就是广义幂指函数。

y=x^x图像：

在x<0时，函数图象存在“黑洞”——无数个间断点，如下图所示(用虚线表示)。

在x>0时，函数曲线是连续的，并且在x=1/e处取得最小值，约为0.6922，在区间(0，1/e]上单调递减，而在区间[1/e，+∞)上单调递增，并过(1,1)点。

【知识点：零点】

对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做y=f(x)的零点。对于函数零点的定义我们注意以下三点：函数的零点是一个实数，当函数的自变量x取这个实数时，其函数值等于零；函数的零点也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标；求函数的零点就是求方程f(x)=0的实数根。