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高中数学:不等式的解法

英才学习4周前 (05-18)不等式276

一、不等式的性质

1、两边同乘或同除一个数要注意它的正负。

2、同向可加但同向不可减。

3、取倒数要注意同号还是异号。也可以从右往左进行化简。

4、两不等式相乘必须给出两组数的正负。绝对值大的相乘与绝对值小的相乘可比较。

5、不等式等价转化的常见思路:移项。

6、乘方、开方要注意奇偶,也可以从右往左进行化简。

n为正奇时,

n为正偶时,


不等式的性质:

对称性:如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y。

传递性:如果x>y,y>z,那么x>z。

加法单调性(同向不等式可加性):如果x>y,z为任意实数或整式,那么x+z>y+z。

乘法单调性:如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz<yz。

正值不等式可乘方:如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)。

正值不等式可开方:如果x>y>0,那么x的n次方根>y的n次方根(n为正数)。

倒数法则:如果x>y>0,那么1/x<1/y;如果0>x>y,那么1/x>1/y。


二、解不等式

1、二次不等式

二次项系数为正时,如果有两个不相等的根:大于0、大于等于0是两根之外,小于0、小于等于0是两根之间;没有根或者相等根的情况,根据图像判断。

二次项系数为负时,如果有两个不相等的根:大于0、大于等于0是两根之间,小于0、小于等于0是两根之外;没有根或者相等根的情况,根据图像判断。

2、高次不等式

最高次系数为正时,从右上开始穿,奇穿偶不穿。

最高次系数为负时,从右下开始穿,奇穿偶不穿。

3、分式不等式

分母恒正或恒负时,乘过去。如

分母正负不定时,用公式法。

4、绝对值不等式

符合以下三种形式时,用公式法。

其他问题正负讨论去绝对值。


若已知绝对值符号内的表达式的值的正负情况,当表达式的值大于等于 0 时,直接去掉绝对值符号即可;当表达式的值小于 0 时,去掉绝对值符号后要在表达式前加上负号。

5、指数、对数不等式

指数不等式:当底数大于 1 时,指数函数单调递增。例如对于不等式ax>ay(a>1),则可得x>y;当底数大于 0 小于 1 时,指数函数单调递减,对于不等式ax>ay(0<a<1),则可得x<y。


对数不等式:对于对数不等式logax>logay(a>1),当x>0,y>0时,可得x>y;当0<a<1时,可得0<x<y。


还要注意对数的定义域,即真数必须大于 0。例如解不等式log2(x-1)>1,先将 1 化为log22,则可得log2(x-1)>log22,因为底数 2 大于 1,且x-1>0,所以x-1>2,即x>3。

以下是一道高次不等式经典例题:


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