计数原理

一、计数原理

1.加法原理

加法原理描述的是：完成一件事情，需要划分几个类别，各类别中的方法可以独立完成这件事情。当这种分类没有重复、没有遗漏时，完成这件事情的方法总数等于每一类方法数之和。也就是：如果一个目标可以在n种不同情况下完成，第k种情况又有a_k种不同方式来实现（其中k从1到n），那么实现这个目标总共有a₁+a₂+⋯+a_n种方法。

注意事项：

每种方式都能实现目标，不依赖于其他条件；

每种情况内任两种方式都不同时存在；

不同情况之间没有相同方式存在。

2.乘法原理

乘法原理描述的是：完成一件事情，需要分为几个步骤，每个步骤的方法刚好完成该步骤，所有步骤实施完毕刚好完成这件事，则完成这件事情的方法总数等于每一个步骤的方法数之和。也就是：如果实现一个目标必须经过n个步骤，第k步又可以有b_k种不同的方法（其中k从1到n），那么实现这个目标总共有b₁×b₂×⋯×b_n种方法。

注意：乘法原理的表述在搜索结果中未完全给出，但根据常规理解，它强调了步骤之间的顺序性和独立性。

加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m₁种不同的方法，在第二类方法中有m₂种不同的方法，……，在第n类方法中有m_n种不同的方法，那么完成这件任务共有N＝m₁＋m₂＋…＋m_n种不同的方法。加法原理体现的是一种分类计数的思想。

乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第一步有m₁种不同的方法，做第二步有m₂种不同的方法，……，做第n步有m_n种不同的方法，那么按照这样的步骤，完成这件任务共有N＝m₁×m₂×…×m_n种不同的方法。乘法原理体现的是一种分步计数的思想。

加法原理和乘法原理是组合计数或者组合数学最基本的计数原理。

二、计数原理应用

【例1】单位3个科室分别有7名、9名和6名职工。现抽调2名来自不同科室的职工参加调研活动，问：有多少种不同的挑选方式?

A.146 B.159 C.179 D.286

【答案】B。

解析：选调2名来自不同科室的职工参加活动，哪两个不同科室就涉及到分类，每一类要选两个人则又涉及到分步，即需要用到分类相加分步相乘的原理。一共分成三类，一类是从7名和9名中选取，一类是从7名和6名中选取，一类是从9名和6名中选取。且每一类都需要分成两步在不同的科室中选取。则职工来自不同科室的挑选方式有7×9+7×6+9×6=159种。故选B。

【例2】小王去超市购物，带现金245元。其中1元6张，2元2张，5元3张，10元2张，50元2张，100元1张，选购的物品总计167元。若用现金结账且不需要找零，则不同的面值组合方式有：

A.6种 B.7种 C.8种 D.9种

【答案】C。

解析：根据现金和物品价格可知，现金的组合中必有1张100元和1张50元，只需要判断剩余17元的组合方式即可。有多少种组合方式相当是有多少类组合能组合成167元，每一类中只有一种情况，所以相当于是求组合方式的种数。则组合方式有以下几种：①1张10元、1张5元、一张2元、1张1元;②1张10元、1张5元、2张3元;③1张10元、2张2元、3张3元;④1张10元、1张2元、5张3元;⑤3张5元、1张2元;⑥3张2元、2张1元;⑦2张5元、2张2元、3张1元;⑧2张5元、1张2元、5张1元;共有8种，故选C。

【例3】从3个不同的苹果和2个不同的橙子中选出1个水果，有多少种选法？这里就应用了加法原理，因为选苹果和选橙子是两种不同的情况，所以总选法为3+2=5种。

另一个例子，从3个不同的苹果中先选1个，再从剩下的2个中选1个，有多少种选法？这里应用了乘法原理，因为选苹果是分两步进行的，所以总选法为3×2=6种。

【例4】小明高考填报志愿，他对浙江大学的数学、物理、工程、化工、计算机这五个专业有兴趣，同时他也对中山大学的经济学、法学、生物这三个专业有兴趣。请问：假如最终只能选一个专业，小明最后有多少种专业可以选择？

由于小明最终只能在两所大学中选一所，而且只能选择其中一个专业，这里两所大学的专业没有重叠的，所以我们根据加法原理，小明的专业选择种类数为5＋3＝8种。

【例5】金拱门大饭店里有3款牛肉汉堡、4款鸡肉汉堡和2款猪肉汉堡，假如你只能选择其中一款汉堡作为午餐，请问有几种选择？

这里，无论哪一款汉堡都可以作为午餐，任选一款汉堡都可以满足我们的要求，因此只要把牛肉汉堡、鸡肉汉堡和猪肉汉堡的数量简单加总就可以，即3＋4＋2＝9种选择。

【例6】金拱门大饭店里有3款牛肉汉堡、4款鸡肉汉堡和2款猪肉汉堡，同时还有可乐、橙汁、雪碧、红茶、咖啡等5种饮料，要求选一款汉堡并搭配一种饮料作为套餐组合，请问可以搭配出多少种套餐组合？

作为套餐组合，汉堡和饮料两者缺一不可，因此要分为两个步骤进行，首先是从3＋4＋2＝9款汉堡里选出一款，然后再从5种饮料里选出一种，这样才能搭配出完整的套餐组合。因此可以搭配出9×5＝45种套餐组合。

【例7】有1、2、3、4、5这五个数字，用来组成三位数。请问：（1）假如允许每个数位上的数字可以重复，有多少个不同的三位数可以组成？（2）假如每个数位上的数字不可以重复，又有多少个不同的三位数可以组成？

第1个小问题：由于三位数由百位、十位和个位组成，因此我要将这个任务分为三个步骤进行考虑。首先确定百位上的数字，可以从五个数字里任选一个；然后确定十位上的数字，同样可以从五个数字里任选一个；最后确定个位数字，依旧可以从五个数字里任选一个。所以，根据乘法原理，一共有5×5×5＝125种不同的三位数可以组成。

第2个小问题：由于各个数位上的数字不可以重复，因此有一些变化。首先确定百位上的数字，可以从五个数字里任选一个；然后确定十位上的数字，由于五个数字中已经有一个数字被用在了百位上，所以只能从剩下的四个数字里选一个放在十位上；最后确定个位数字，由于五个数字中已经有两个数字分别被用在了百位和十位上，所以只能从剩下的三个数字里选一个放在个位上。最后，根据乘法原理，一共有5×4×3＝60种不同的三位数可以组成。

【例8】数字360有多少个正约数？

我们先将360这个数进行质因数分解，可以得到360＝23×32×51。由于每一个约数最后都是由若干个2或3或5相乘所得到的，于是我们可以将这个问题分为三个步骤去考虑。首先考虑数字2，2最多就是3个都用上，也可以不用，因此有3＋1＝4种可能性；其次考虑数字3，3最多是2个都用上，也可以不用，因此有2＋1＝3种可能性；最后考虑数字5，5最多只能用1个，也可以不用，因此有1＋1＝2种可能性。所以，根据乘法原理，一共有4×3×2＝24个不同的约数。