计数原理

一、计数原理

1.加法原理

加法原理描述的是：完成一件事情，需要划分几个类别，各类别中的方法可以独立完成这件事情。当这种分类没有重复、没有遗漏时，完成这件事情的方法总数等于每一类方法数之和。也就是：如果一个目标可以在n种不同情况下完成，第k种情况又有a_k种不同方式来实现（其中k从1到n），那么实现这个目标总共有a₁+a₂+⋯+a_n种方法。

注意事项：

每种方式都能实现目标，不依赖于其他条件；

每种情况内任两种方式都不同时存在；

不同情况之间没有相同方式存在。

2.乘法原理

乘法原理描述的是：完成一件事情，需要分为几个步骤，每个步骤的方法刚好完成该步骤，所有步骤实施完毕刚好完成这件事，则完成这件事情的方法总数等于每一个步骤的方法数之和。也就是：如果实现一个目标必须经过n个步骤，第k步又可以有b_k种不同的方法（其中k从1到n），那么实现这个目标总共有b₁×b₂×⋯×b_n种方法。

注意：乘法原理的表述在搜索结果中未完全给出，但根据常规理解，它强调了步骤之间的顺序性和独立性。

二、计数原理应用

【例1】单位3个科室分别有7名、9名和6名职工。现抽调2名来自不同科室的职工参加调研活动，问：有多少种不同的挑选方式?

A.146 B.159 C.179 D.286

【答案】B。中公解析：选调2名来自不同科室的职工参加活动，哪两个不同科室就涉及到分类，每一类要选两个人则又涉及到分步，即需要用到分类相加分步相乘的原理。一共分成三类，一类是从7名和9名中选取，一类是从7名和6名中选取，一类是从9名和6名中选取。且每一类都需要分成两步在不同的科室中选取。则职工来自不同科室的挑选方式有7×9+7×6+9×6=159种。故选B。

【例2】小王去超市购物，带现金245元。其中1元6张，2元2张，5元3张，10元2张，50元2张，100元1张，选购的物品总计167元。若用现金结账且不需要找零，则不同的面值组合方式有：

A.6种 B.7种 C.8种 D.9种

【答案】C。中公解析：根据现金和物品价格可知，现金的组合中必有1张100元和1张50元，只需要判断剩余17元的组合方式即可。有多少种组合方式相当是有多少类组合能组合成167元，每一类中只有一种情况，所以相当于是求组合方式的种数。则组合方式有以下几种：①1张10元、1张5元、一张2元、1张1元;②1张10元、1张5元、2张3元;③1张10元、2张2元、3张3元;④1张10元、1张2元、5张3元;⑤3张5元、1张2元;⑥3张2元、2张1元;⑦2张5元、2张2元、3张1元;⑧2张5元、1张2元、5张1元;共有8种，故选C。

【例3】从3个不同的苹果和2个不同的橙子中选出1个水果，有多少种选法？这里就应用了加法原理，因为选苹果和选橙子是两种不同的情况，所以总选法为3+2=5种。

另一个例子，从3个不同的苹果中先选1个，再从剩下的2个中选1个，有多少种选法？这里应用了乘法原理，因为选苹果是分两步进行的，所以总选法为3×2=6种。