整除的基础知识

一、整除概念

设a，b是两个整数，且b≠0，如果存在一个整数q，使等式a= bq成立，那么我们称a 能被b整除或b 整除a,记作 bla，（“|”是整除符号），读作“b整除a”或“a能被b整除”。

TIPS:整除与除尽的区别和联系

整除与除尽既有区别又有联系。除尽是指数b除以数a（a≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，b能被a除尽（或说a能除尽b）。因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。

二、整除性质

(1)若b|a,a≠0,则|b|≤|a|；

(2)若b|a,a|b,a≠0,则|a|=|b|；

(3)若c|b,b|a,则c|a；

(4)若b|a,则 cb|ca;

(5)若b|a，c|a，且b和c互质，则bc|a；

(6)对任意非零整数a，±a|a=±1；

(7)如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除；

(8)若c|a,c|b,则c|ma+ nb,m,n∈Z；

(9)对任意整数a，b>0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r。带余除法定理，是整除理论的基础；

(10)若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则d是a，b的最大公因数。若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素，也称互质。

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