二项式定理

一、定义

二项式定理（英语：binomial theorem），又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。

二、二项式定理

可以将x+y的任意次幂展开成和的形式

其中每个为一个称作二项式系数的特定正整数，其等于

这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号，可以把它写作：

二项式定理推广至n为负数

(n>0)

三、二项式定理性质

1.(a+b)ⁿ的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数C(n,r)(r∈{0，1，2，……，n})叫做二项式系数。

2.二项展开式的通项公式(简称通项)为C（n，r）(a)^(n-r)b^r，用T_r+1表示(其中"r+1"为角标)，即通项为展开式的第r+1项

3.指数：

a的指数从n到0, 降幂排列；

b的指数从0到n,升幂排列。

各项中a，b的指数之和始终为n.

4.二项式系数

（1）二项式系数对称性：

展开式中，与首末两项等距的任意两项二项式系数相等。

（2）二项式系数最大值：

展开式的二项式系数中，最中间那一项（或最中间两项）的二项式系数最大。即：

增减性和最大值:先增后减

n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为:T(n+2)/2

n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为:T(n+1)/2，T[(n+1)/2+1]

（3）二项式系数和：

二项展开式中，所有二项式系数和等于，即：

奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即：

（4）杨辉三角中的二项式系数：

杨辉三角可以点击后面链接查看：https://yc8.com.cn/wenzhang/202306/2870.html

四、贝努力不等式

由此可得贝努力不等式。贝努力不等式常用于函数不等式证明中的放缩

对实数x>-1， 

在n≥1时，(1+x)ⁿ≥1+nx成立；

在0≤n≤1时，(1+x)ⁿ≤1+nx成立。

可以看到等号成立当且仅当n = 0,1，或x = 0时。