函数:函数隐零点

一、导函数隐零点定义

在研究复杂函数、超越函数时，当我们求导后，如果导函数本身也是复杂函数或超越函数，是不能直接“求根、定号”的，此时要确定导函数的“符号”，就需要结合导函数的“单调性”与“关键点”处理。其中的“关键点”，首先就是看导函数的“零点”，如果“零点”能被观察到（猜到），我们称之为“显零点”，否则称之为“隐零点”。

隐零点问题本质上还是函数的零点问题，隐零点也是零点，只是我们没有办法用一个确定的值来表示而已，这时候我们就称为这个零点为隐零点。虽然我们没办法给出具体值，但我们可以给出这个零点的大致范围。

隐零点是用导数判断函数单调性和求最值常规方法的补充,而求最值和判断单调性是所有导数大题共有的解题基础,因此这部分内容是导数的基本功,如果尝试在导数压轴大题上争取更高的分数,则隐零点问题必须熟练掌握。

函数零点的内容可以点击下面链接查看：

https://yc8.com.cn/wenzhang/202410/4469.html

二、怎么找导函数隐零点

隐零点的作用，就是要辅助判断导函数的符号。 而在处理最值、恒成立与证明不等式中，如果涉及到隐零点处的最值计算，就要用隐零点所满足的等式关系进行代换。如果涉及到隐零点的范围，我们就用零点存在定理，根据需要，我们还可用“二分法”进行压缩区间，以使其更加精准。

那么怎么找导函数的隐零点呢？具体可以分为以下几步：

1.用零点存在性定理判定导函数零点的存在性。列出零点方程f′(x)=0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围。

2.以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式。

3.将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小。

处理“隐零点”问题，要侧重把握好三点。第一，“形式上虚设”，设出隐零点，并给出要满足的等式条件；第二，“运算上代换”，如果题目中涉及到隐零点的计算，就需要利用其满足的等式条件进行代换，通常将指数式、对数式、三角式等代换成多项式；第三，“范围上估算”，估算的方法，就是利用零点存在定理，控制其取值区间。

三、具体案例