函数零点

一、定义

零点（zero point）是一个数学概念，对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点，即零点不是点。

函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。

导函数隐零点可以点击下面链接查看：

https://yc8.com.cn/wenzhang/202410/4475.html

二、相关零点性质

1.零点等价条件

方程f(x)=0 有实数根即函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有交点/函数 y=f(x) 有零点。

2.零点题型分类

对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。

即：方程 f(x)=0有实数根 ↔ 函数y=f(x)的图象与x轴有交点的横坐标 ↔函数y=f(x)有零点。

围绕三者之间的关系,在高考数学中函数零点的题型主要分为以下三类：

（1）函数的零点的分布；

（2）函数的零点的个数问题；

（3）利用导数结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题。

3.零点存在性定理

（1）如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点，即彐x∈(a,b)，使得f(x)=0。

注：零点存在性定理使用的前提是f(x)在区间[a,b]连续，如果f(x)是分段的，那么零点不一定存在。

（2）函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数,那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调。

（3）几个“不一定”与“一定”(假设 f(x)在区间(a,b)连续)

①若f(a).f(b)<0，则 f(x)“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。

要分析f(x)的性质与图像,如果f(x) 单调,则“一定”只有一个零点.

②若f(a)·f(b)>0，则 f(x)“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。

如果f(x)单调,那么“一定“没有零点。

③如果f(x)在区间(a,b)中存在零点，则f(a)·f(b)的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。

如果f(x)单调，则f(a)·f(b)一定小于0。

4.零点与单调性配合可确定函数的符号：

f(x)是一个在(a,b)单增连续函数，x=x₀是f(x)的零点且x₀∈(a,b)，则x∈(a,x)时，f(x)<0; x∈(x,b)时，f(x)>0。

f(x)是一个在(a,b)单减连续函数，x=x₀是f(x)的零点且x₀∈(a,b)，则x∈(a,x)时，f(x)>0; x∈(x,b)时，f(x)<0。

5.函数单调性可以查看下面链接：

https://yc8.com.cn/wenzhang/202405/4259.html

6.证明零点存在的步骤：

(1)将所证等式中的所有项移至等号一侧,以便于构造函数；

(2)判断是否要对表达式进行合理变形,然后将表达式设为函数f(x)；

(3)分析函数f(x)的性质,并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间；

(4)利用零点存在性定理证明零点存在。

三、‌函数零点的求解与判断方法

怎么求解函数零点

求方程 f(x)=0 的实数根，就是确定函数 y=f(x) 的零点。

一般的，对于不能用公式法求根的方程 f(x)=0 来说，我们可以将它与函数 y=f(x) 联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根。

函数的零点、方程的根、两图像交点之间的联系。

设函数为y=f(x)，则f(x)的零点即为满足方程f(x)=0的根。

若f(x)=g(x)-h(x)，则方程可转变为g(x)=h(x)，即方程的根在坐标系中为g(x)、h(x)交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点、方程的根、两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

1.函数的零点：

工具:零点存在性定理

作用:通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

缺点:方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关。

2.方程的根:

工具:方程的等价变形作用:当所给函数不易于分析性质和图像时,可将函数转化为方程,从而利用等式的性质可对方程进行变形,构造出便于分析的函数

缺点:能够直接求解的方程种类较少,很多转化后的方程无法用传统方法求出根,也无法判断根的个数。

3.两函数的交点:

工具:数形结合

作用:前两个主要是代数运算与变形,而将方程转化为函数交点,是将抽象的代数运算转变为图形特征,是数形结合的体现.通过图像可清楚的数出交点的个数(即零点,根的个数)或者确定参数的取值范围.缺点:数形结合能否解题,一方面受制于利用方程所构造的函数(故当方程含参时,通常进行参变分离其目的在于若含x的函数可作出图像,那么因为另外一个只含参数的图像为直线,所以便于观察),另一方面取决于作图的精确度,所以会涉及到一个构造函数的技巧,以及作图时速度与精度的平衡。

在高中阶段主要考察三个方面:

(1)零点所在区间--零点存在性定理，

(2)二次方程根分布问题，

(3)数形结合解决根的个数问题或求参数的值，

其中第(3)个类型常要用到函数零点、方程、与图像交点的转化,请通过例题体会如何利用方程构造出函数,进而通过图像解决问题的。

具体可以分为以下几点：

1.直接求零点。

通过解方程来判断。

令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。

2.根据零点存在性定理,结合函数性质来判断。

利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点。

3.利用图象交点的个数

y=f(x)-g(x)的零点个数转化为函数y=f(x)与y=g(x)图象公共点的个数来判断。即将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点。

4.对于复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题,求解思路如下：

1.确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；

2.确定外层函数y=f(u)的零点u=u(i=1,2,3,,n)；

3.确定直线u=u_i(i=1,2,3,…,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a₁、a₂、a₃、…、a_n，则函数y=f[g(x)]的零点个数为a₁+a₂+a₃+…+a_n。

5.正弦型函数的零点个数问题

可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数k的不等式组，从而可求相应的参数的取值范围。

6.含参的函数零点问题

利用导数分类讨论,研究函数的单调性、最值等,结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题。

四、‌零点比大小的基本概念‌

零点比大小是数学中一种比较两个函数或表达式大小的方法。这种方法通常用于解决涉及导数、不等式和函数零点的问题。通过比较函数的零点，可以简化问题的求解过程，快速得出结果。

具体应用场景和解决方法

‌1.“一直一曲”形式‌

“一直一曲”即题目中的表达式，可以转化为比较一条直线和一条曲线大小的形式。

一般形式：题目中已知g(x)-ax-b≥0或g(x)-ax-b≤0恒成立（其中g(x)为曲线），要求出参数比值的最大值、最小值或取值范围。

解决方法：将函数或不等式化为g(x)≥ax+b或g(x)≤ax+b的形式；令f(x)=ax+b，分别求出g(x),f(x)的零点，比较零点x值的大小，得到关于参数的不等式，进而求出参数比值的最大值、最小值或取值范围。

若曲线无零点或直线y=kx+b无零点（定义域限制），则需要根据所求表达式构造有零点的函数。

‌2.“一凸一凹”形式‌

将题目中的表达式转化为比较两条曲线大小的形式。通过比较凹函数和凸函数的大小，得出所需结论。

‌数形结合‌：利用图形直观地比较函数的大小，这种方法在解决导数和不等式问题时非常有效。