初中数学几何模型：费马点最值模型详解

平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家费马提出的一个著名的几何问题。

皮耶·德·费马(Pierre de Fermat)是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。

他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为"费尔玛"(注意"玛"字)。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名"最后"的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。

费马给意大利物理学家托里拆利写信，信中提出这样一个问题：“对于任意一个三角形，是否存在一个点，它到三个顶点的距离之和最小。”这个问题中所求的点被人们称为“费马点”。

一、费马点的定义

三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点。

那么何为费马点呢？

答："费马点"是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。

若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。

值得一提的是这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

二、费马点的证明

当考虑一个三角形的费马点时，需要将三角形分为两类: 

1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

三、如何证明

通过旋转，构造等边三角形，将共顶点的三条线段首尾相连。

第一种：三角都不超过120度。

第二种：有一个角超过120度。

四、费马点结论

对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点;

对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

五、怎么画费马点？

分别以三角形ABC的一边为边长向外作等边三角形，画其外接圆，三个外接圆的交点即为费马点。

最简单的画法是这样的：只画一个等边三角形BCF，直接联结AF，AF与圆的交点即为点P。

六、费马点极值问题

标准的费马点问题式中的三条线段的系数全为1。如果不全为1(全为正数)，就变成了加权的费马点问题，即讨论kPA+mPB+nPC的最小值，其中k,m,n为正数。

在目前的这类问题中，普遍所给系数满足勾股定理，解决的办法是主要是通过旋转、缩放转化。

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