初中数学几何模型：对角互补模型详解

对角互补的四边形（共圆四边形）模型判断：对角之和等于180°的四边形.注意：对角互补的四边形共圆，可通过旋转、作垂线构造全等、相似三角形；作四边形的外接圆，借助隐形圆提高解题效率。

分类：按边分为邻边不等（构造相似）和邻边相等（构造全等，本节主要研究邻边相等）；按角分为一般和特殊角度（60°、90°、120°）。

一、邻边相等基本模型

1.一组邻边相等+对角互补=角平分线
已知：∠B+∠D=180°,AB=AD.结论：CA平分∠BCD,BE+CD=EC.

方法一：

方法一：借助对角互补的四边形共圆，很快可得出结论.

方法二：如图

作AE⊥BC于点E,AF⊥CD的延长线于点F.

∵∠B+∠ADC=180°， ∠ADC+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADF.在△ABE和△ADF中，∠B=∠ADF，∠AEB=∠AFD=90°,AB=AD,

∴△ABE≅△ADF.(AAS)

∴AE=AF,

∴CA平分∠BCD.

逆命题：成立（知二求一）

(1)对角互补（共圆）+邻边相等的四边形角平分线

(2)对角互补（共圆）+角平分线的四边形邻边相等

(3)角平分线+邻边相等的四边形对角互补（共圆）

二、一组邻边相等+一对直角

总结：遇到此模型，常常联想到构造等腰直角三角形或正方形.

三、一组邻边相等+一对角分别为60°、120°

已知：∠BAD=60°，∠BCD=120°,AB=AD.

结论1：CA平分∠BCD.

证明：（常规方法）

方法1：如图②利用隐形圆（等弧所对的圆周角相等）；

方法2：过A点作CB、CD的垂线，在内外部构造直角三角形，证明全等.

已知：∠BAD=60°，∠BCD=120°,AB=AD.

结论2：BC+CD=AC(△ACE、△ACF为等边三角形).

常规方法：利用旋转构造全等三角形.需注意：虽然是旋转得到全等，旋转仅仅是直观演示过程.推理过程辅助线应写延长CD到E,使得DE=BC，连接AE.特殊方法：此模型为特殊结构含60°，也可以联想链接：等边三角形手拉手旋转型全等.

构造等边△DAE、等边△DBC，利用手拉手旋转型全等.可得：AD+AB=AC.

构造等边△BAF、等边△BDC，利用手拉手旋转型全等.可得：AD+AB=AC.

总结：等边三角形手拉手旋转过程中，若A、C、E三点在同一直线时，则四边形ABCD为本节模型（一组邻边相等+一对角分别为60°、120°.）

四、邻边不等基本模型（构造相似）

已知：∠B+∠D=180°.

结论：△DAE∼△DCF.