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三角形重心、外心、内心、垂心、旁心性质及交于一点证明

英才学习2年前 (2022-12-05)初中数学2006

在中学的平面几何里面,我们学到过三角形有5个心。其中重心、外心、内心、垂心只有一个,旁心有三个。
一、内心三角形三条角平分线交于一点

三角形三个角平分线相交于一点,是三角形的内心,它到三角形三边的距离相等。
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任意三角形的内心都在三角形内部:

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性质:

1.三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径;
2.直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3.∠ BOC=90°+∠BAC/2。

4.在Rt△ABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D,则S△ABC=BDxCD

内心的证明。
运用角平分线的性质定理,得到交点到三边的距离相等,再运用角平分线的逆定理,即证。具体证明如下:

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如图,BO、AO是△ABC的两条角平分线,过O作OD⊥AB于D,过O作OF⊥AC于F,过O作OE⊥BC于E
∵BO、AO是角平分线  OD⊥AB  OF⊥AC  OE⊥BC
∴OD=OE   OD=OF(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∴OF=OE
∵OF=OE  OF⊥AC   OE⊥BC
∴OC是∠ACB的平分线(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)
综上可得三角形的三条角平分线相交于一点(如图中的O点)


二、外心三角形三边中垂线交于一点

三角形三条边的中垂线的交点,即外心。也是三角形外接圆的圆心。
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三角形的外心不一定在三角形内部:

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性质:

1.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.都等于三角形的外接圆半径;
2.当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合。
3.若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A为钝角)。

4.外心到三顶点的距离相等,即OA=OB=OC。

外心的证明:
运用中垂线的性质定理,得到交点到三个顶点的距离相等,再运用中垂线的逆定理,即证。

证明:

证法一:运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。

已知:△ABC的两条高BE、CF相交于点O,第三条高AD交高BD于点Q,交高CF于点P。

求证:P、Q、O三点重合

证明:如图,∵BE⊥AC,CF⊥AB

∴∠AEB = ∠AFC = 90°

又∵∠BAE = ∠CAF

∴△ABE ∽ △ACF

∴,

即AB·AF = AC·AE

又∵AD⊥BC

∴△AEQ ∽ △ADC,△AFP ∽ △ADB

∴,

即AC·AE = AD·AQ,AB·AF = AD·AP

∵AB·AF = AC·AE,AC·AE = AD·AQ,AB·AF = AD·AP

∴AD·AQ = AD·AP

∴AQ = AP

∵点Q、P都在线段AD上

∴点Q、P重合

∴AD与BE、AD与CF交于同一点

∵两条不平行的直线只有一个交点

∴BE与CF也交于此点

∴点Q、P、O重合。

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三、垂心(三角形三条高的交点)

三角形的垂心不一定在三角形内部:

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性质:

1.三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍;锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍;

2.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外 。

3.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

4.垂心O关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆圆上。

5. △ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,。

6.O、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为--垂心组)。

7.△ABC,△ABO,△BCO,△ACO的外接圆是等圆。

8.三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍。

9.设O、 H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC, ∠BCO=∠HCA.

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10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍,即 AH+BH+CH = 2(r+R)。

11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短。

12.设H为非直角三角形的垂心,且D、E、F分别为H在BC,CA, AB.上的射影,H1,H2,H3分别为△AEF,△BDF,△CDE的垂心,则△DEF≌△H1 H2H3.


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13.三角形垂心H的垂足三角形的三边,分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

垂心的证明:
将任意一个三角形分别以三条边为对角线作平行四边形,可得到一个新的三角形。新的三角形的外心就是原来三角形的垂心,得证。证明如下:

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运用三角形三边垂直平分线交于一点来证明。

已知:△ABC中,AD,BE,CF是高。求证:AD,BE,CF相交于一点。

证明:过A作直线a∥BC,过B作直线b∥AC,过C作c∥AB,设a与b交点为C',a与c交点为B’,b与c交点为A‘

∵AC’∥BC,AC∥BC'

∴四边形ACBC'是平行四边形

∴AC'=BC

同理,AB'=BC

∴AB'=AC',A是B'C'中点

∵AD⊥BC,BC∥B'C',∴AD⊥B'C',即AD是B‘C’的垂直平分线

同理,BE是A'C'的垂直平分线,CF是A'B'的垂直平分线

∵三角形三边的垂直平分线交于一点

∴AD,BE,CF交于一点


四、重心(三角形三条中线的交点

三角形三边中线交于一点,这一点叫三角形的重心。

任意三角形的重心都在三角形内部:

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重心性质:

1.三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2;即AG:GD=2:1
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等;
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等,即S△AOB=S△BOC=S△AOC。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。


5.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

6.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。即在△ABC中,若点A(X1、Y1)、B(X2、Y2)、C(X3、Y3),则其重心点O的坐标为{(X1+Ⅹ2+X3)/3、(Y1+Y2+Y3)/3}。

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证明如下:

1.使用面积法证明重心。作两条中线,此时内部有两个小的三角形以及一个较大的三角形。证明这两个小的三角形面积相等(各自与较大三角形的面积和皆为原三角形的一半),连结交点与第三个顶点构成一条线段。此时内部有四个小的三角形以及一个较大的三角形,证明这四个三角形面积相等(等底同高),之后延长这条线段与第三边相交,此时内部有六个小的三角形,证明这六个三角形面积相等(同底等高),得证。
2.同一法证明
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五、旁心

三角形旁切圆的圆心,简称为三角形旁心,它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点;显然,任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。

性质

1.三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。

2.旁心到三角形三边的距离相等。

3.三角形有三个旁切圆,三个旁心。旁心一定在三角形外。

4.直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。


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等边三角形的重心,内心,外心,垂心,四心合一。

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