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三角函数常用公式

英才学习1年前 (2022-12-08)数学369

三角函数常用公式

一、任意角的三角函数

在角的终边上任取一点p(x,y),记1670490770986.jpg:,

正弦函数:1670490809191.jpg   余弦函数:1670490819542.jpg

正切函数: 1670490835931.jpg  余切函数: 1670490851233.jpg


二、诱导公式

公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

sin(2kπ+α)=sinα      cos(2kπ+α)=cosα

tan(2kπ+α)=tanα      cot(2kπ+α)=cotα     (其中k∈Z)

公式二:设α为任意角,π+α的三角函数的值与的三角函数值之间的关系:

sin(π+α)=-sinα     cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα       cot(π+α)=cotα

公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:

sin(-α)=-sinα        cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα        cot(-α)=-cotα

公式四:利用公式二和公式三,可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:

sin(π-α)=sinα         cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα       cot(π-α)=-cotα

公式五:1670491059739.jpg与α的三角函数值之间的关系:

sin(1670491059739.jpg)=cosα        cos(1670491059739.jpg)=sinα

tan(1670491059739.jpg)=cotα        cot(1670491059739.jpg)=tanα

公式六:1670491112117.jpg与α的三角函数值之间的关系:

sin(1670491112117.jpg)=cosα        cos(1670491112117.jpg)=-sinα

tan(1670491112117.jpg)=-cotα      cot(1670491112117.jpg)=-tanα

公式七:1670491135598.jpg与α的三角函数值之间的关系:

sin(1670491135598.jpg)=-cosα     cos(1670491135598.jpg)=-sinα

tan(1670491135598.jpg)=cotα       cot(1670491135598.jpg)=tanα

公式八:1670491156005.jpg与α的三角函数值之间的关系:

sin(1670491156005.jpg)=-cosα     cos(1670491156005.jpg)=sinα

tan(1670491156005.jpg)=-cotα     cot(1670491156005.jpg)=-tanα

公式九:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:

sin(2π-α)=-sinα       cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα       cot(2π-α)=-cotα

1670491231901.png的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名不变,符号看象限)

1670491246837.png的三角函数值,等于的异名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名改变,符号看象限)


三、和角公式和差角公式


1670491675976.jpg

1670491688635.jpg

1670491694689.jpg

1670491708658.jpg

1670491728523.jpg

1670491737591.jpg


四、二倍角公式

1670491820233.jpg

1670491843775.jpg

1670491851101.jpg

二倍角的余弦公式有以下常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角)

1670491944453.jpg

1670491959308.jpg

1670491967209.jpg

1670491976883.jpg

1670491988718.jpg


三倍角公式

sin(3α) = 3sinα-4sin3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α) = 4cos3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α) = (3tanα-tan3α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

cot(3α)=(cot3α-3cotα)/(3cot2α-1)



五、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式)

1670492020074.jpg

1670492030447.jpg

1670492037375.jpg


六、和差化积公式

1670492321308.jpg

1670492332458.jpg

1670492343458.jpg

1670492351842.jpg


七、积化和差公式

1670492375813.jpg

1670492384277.jpg

1670492391444.jpg

1670492398365.jpg


八、辅助角公式

1670492460640.jpg

其中:角1670492476000.jpg的终边所在的象限与点(a,b)所在的象限相同

1670492498698.jpg

1670492508713.jpg

1670492518513.jpg


九、正弦定理

1670492547766.jpg


(R为1670492581776.jpg外接圆半径)


十、余弦定理

1670492625564.jpg

1670492636224.jpg

1670492642131.jpg


十一、三角形的面积公式

1670492684139.jpg

(两边一夹角)


1670492712466.jpg

(R为1670492581776.jpg外接圆半径)


1670492751825.jpg

(r为1670492581776.jpg内切圆半径)


1670492793231.jpg

海伦公式(其中1670492811488.jpg


十二、正弦平方差公式

1670487101198.jpg


余弦平方差公式

1670487136508.jpg

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