初中数学：几何“12345”模型

“12345”模型是是经典的几何模型之一

“12345”模型指的是正切值分别为1/2和1/3的两个角的和为45度。具体如下：

上面条件，只要其中2个条件成立，另一个条件也成立。

一、常规结论

图一：“12345”模型结论一

二、延生结论

图二：“12345”模型结论二（2倍角:3：4：5的直角三角形）

从上图可以看出3：4：5的直角三角形的两个锐角的1/2的正切值分别为1/2和1/3

同时，可以得出下面结论：

1.若tan2A=3/4，则tanA等于1/3。
2.若tan2A=4/3，则tanA等于1/2。
3.若tanA＝2，tanB＝3，则∠a+∠b＝135。

三、具体应用

1.网格应用
如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=___°．（点A、B、P是网格线交点）

答案：45度

2.半角模型衍生
半角模型可以查看：https://yc8.com.cn/wenzhang/202207/1057.html
【2018湖北中考第9题】

如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点，将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE长是（    ）

具体解析如下：

连接AE，通过半角模型，可得α+β=45，tan∠BAG=1/2，满足“12345”模型

所以tanβ=1/3，答案为2

半角模型具体结论内容可以查看后面链接：https://yc8.com.cn/wenzhang/202207/1057.html

3.与直角坐标系结合

【2019盐城中考第16题】

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_______________．

具体解析如下：

求解一次函数解析式可以查看后面链接：https://yc8.com.cn/wenzhang/202305/2826.html

通过一次函数y=2x-1，可知tan∠BAO=2，那么tan∠ABO=1/2

∠ABO+∠OCB=180-90-45=45度

所以：tan∠BCO=1/3

那么根据斜截式：点(0,-1)、斜率1/3

得出直线BC的函数解析式为：y=1/3x-1

4.与直角坐标系结合

【2017浙江丽水第16题】

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+m分别交x轴、y轴于A、B两点，已知点C（2,0），点P为线段OB的中点，连接PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是__________．

具体解析如下：

直线y=-x+m，可知∠OBA=∠OAB=45度，OB=OA

∠CPA=∠ABO=45度

∠OPC+∠OAP=45度

tan∠OAP=1/2

那么tan∠OPC=1/3

OC=2

那么OP=6，OB=12

所以m=12

5.2倍角应用

【2016甘肃天水第16题】

如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A’位置，OB为根号5，tan∠BOC=1/2，则点A’的坐标为____________．

具体解析如下：

由对折可知∠AB0=∠A'B0

由OB为根号5，tan∠BOC=1/2，可知tan∠AB0=1/2,AB=2,AO=1

由双倍角可知tan∠A'BA=4/3，实际上A'B、A'H、BH为5:4:3关系

可以求出A'H长，BH长

那么点A’的坐标还不容易求出来吗？

6.2倍角应用

【2017宜宾中考第7题】

如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（    ）

具体解析如下：

通过BC=8，CD=6，可知BD=10，那么AB:AD:BD=3：4：5，符合2倍角模型，

将△ABE沿BE折叠，构造了1倍角模型，tan∠ABD=4/3，那么tan∠ABE=1/2,AE=3，DE=5

更多，可以点击下面链接查看12345模型具体案例：

初中数学：几何“12345”模型具体案例