初中数学：代数式求最值几种方法

一、计算法

 已知：，，，则的最小值为（ ）

A. B. 

C. D. 

解：由

解得

因为

所以只要最小，就最小，通过计算当，；

或时最小，最小值为

所以的最小值为

故选B

注：也可把a、b、c的值直接代入通过计算并比较，从而求出其最小值。

二、通过勾股定理求解最小值

例题一：

看到根号，看到平方和，想到了构造直角三角形

通过构建如上图形，两条直角边分别为5、12，最小值即为斜边长，最终答案为13

三、通过两条线段之差小于第三变求解最大值

1.求的最大值。

解：原式可变形为

其中：

可以看成是以、为直角边的直角三角形斜边长，

可以看成是以、为直角边的直角三角形中的斜边长。

构造如下图。

当C点与D点不重合时，即时，在三角行中有，即

当C点与D点重合时，即时，

所以当时即时，y取最大值

四、通过构建坐标系，求解最值

1.已知：，求：的最小值。


看到函数解析式，想到了坐标系
从所求分析：x,y的平方和，我们可以想到勾股定理。那么再开方是不是就相当于点到原点的距离？

通过以上分析，构建如下图:

，这个代表直线上的一点到原点的距离，从图可以看出OC垂直AB于C，OC就是所求。

可以通过面积求解OC长度

OB*OA=OC*AB

最小值为：

五、通过基本不等式公式求解

若，那么代数式的最小值是_____________。

解：当时

因为

所以

即

因为

所以

所以的最小值为1。

基本不等式可以点后面链接查看更多：https://yc8.com.cn/wenzhang/202305/2836.html

六、配方法

例1. 设a、b为实数，那么的最小值是___________。

解：

因为，

所以当且

即且时，式子的值最小，最小值为－1。

七、消元法

例3. 已知：，则的最大值是___________，最小值是_________。

解：由得

所以

所以

所以

所以

当时，的最大值为；

当时，的最小值为－2。

八、万能“K”法

题目特征：目标函数一般为线性函数，比如ax+by的形式，且已知的约束条件中出现了二次的形式。特别要注意：各变量的定义域。

解题思路：先设目标函数等于K；然后将目标函数与约束条件联立消去一个变量，得到一个一元二次方程；根据这个一元二次方程有实数根，即判别式可得到一个关于K的不等式，解出这个不等式即可求出目标函数的最值。此方法称之为万能k法.

若实数x,y满足 x²+y²+xy=1, 则x+y的最大值是

(万能k法):令x+y=k,则x=k-y,

代入题于 ( k-y)²+y²+ ( k-y)y=1,

整理 k²-2ky+y²+y²+ky-y²=1,

即 y²-ky+k²-1=0,

Δ=k²-4(k²-1)≥0, 得k²≤4/3,