初中数学：几何-角平分线模型

一、模型分类

模型一：垂两边

最常见最常用的角平分线模型。

结论：△OAC≌△OBC

证明：AAS证全等，过程略.

模型二：垂中间

结论：△OAC≌△OBC

证明：ASA证全等，过程略.

模型三：任意对称

结论：△OAC≌△OBC

证明：通常用截长补短作辅助线来证全等。

模型一、模型二、模型三都是轴对称全等模型，模型一、模型二可看作模型三的特例，在实际解题中最常见、最常用到的是模型一，也就是角平分线的性质和判定。所以，遇角平分线，可尝试作垂线。

模型四：平分平行构等腰

已知：OC平分∠AOB，AC//OB.

求证：△AOC是等腰三角形.

证明：∵OC平分∠AOB

∴∠AOC=∠BOC

∵AC//OB

∴∠ACO=∠BOC

∴∠AOC=∠ACO

∴AO=AC，△AOC是等腰三角形

模型五：对角互补

已知：如图，OC平分∠AOB，∠OAC+∠OBC=180°.

求证：AC=BC

分析：遇角平分线，作垂线。题目中出现角平分线，首先应该想到角平分线的性质和判定，也就是模型一，如果题目中已有垂线，那就直接用，如果没有，那不妨尝试作垂线。

证明：过点C分别作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D、E.

∵∠OAC+∠OBC=180°，∠OBC+∠EBC=180°

∴∠DAC=∠EBC（等量代换）

∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB

∴CD=CE（角平分线的性质），∠ADC=∠BEC=90°（垂直定义）

在△ADC和△BEC中

∠DAC=∠EBC，∠ADC=∠BEC，CD=CE

∴△ADC≌△BEC（AAS）

∴AC=BC

结论可简记为对角互补边相等。

二、内外交平分线角度关系

1.三角形两内角角平分线：

2.三角形两外角角平分线：

3.三角形内外角角平分线：