初中数学：几何-角平分线模型
初中数学：几何-角平分线模型
一、模型分类
模型一：垂两边
最常见最常用的角平分线模型。
结论：△OAC≌△OBC
证明：AAS证全等，过程略.
模型二：垂中间
结论：△OAC≌△OBC
证明：ASA证全等，过程略.
模型三：任意对称
结论：△OAC≌△OBC
证明：通常用截长补短作辅助线来证全等。
模型一、模型二、模型三都是轴对称全等模型，模型一、模型二可看作模型三的特例，在实际解题中最常见、最常用到的是模型一，也就是角平分线的性质和判定。所以，遇角平分线，可尝试作垂线。
模型四：平分平行构等腰
已知：OC平分∠AOB，AC//OB.
求证：△AOC是等腰三角形.
证明：∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
∵AC//OB
∴∠ACO=∠BOC
∴∠AOC=∠ACO
∴AO=AC，△AOC是等腰三角形
模型五：对角互补
已知：如图，OC平分∠AOB，∠OAC+∠OBC=180°.
求证：AC=BC
分析：遇角平分线，作垂线。题目中出现角平分线，首先应该想到角平分线的性质和判定，也就是模型一，如果题目中已有垂线，那就直接用，如果没有，那不妨尝试作垂线。
证明：过点C分别作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D、E.
∵∠OAC+∠OBC=180°，∠OBC+∠EBC=180°
∴∠DAC=∠EBC（等量代换）
∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB
∴CD=CE（角平分线的性质），∠ADC=∠BEC=90°（垂直定义）
在△ADC和△BEC中
∠DAC=∠EBC，∠ADC=∠BEC，CD=CE
∴△ADC≌△BEC（AAS）
∴AC=BC
结论可简记为对角互补边相等。
二、内外交平分线角度关系
1.三角形两内角角平分线：
2.三角形两外角角平分线：
3.三角形内外角角平分线：
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