初中数学：米勒定理（最大张角、两定一动最大角问题）

一、定义

1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提了个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？

此最大视角问题称之为“米勒问题”，其结论称之为“米勒定理”。

二、圆外角

圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角

圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半

同弧所对的圆周角相等，圆外角小于圆周角，圆内角大于圆周角

具体证明分析：

【两定一动最大角模型】

如下图，点Ａ、Ｂ在∠Ｃ的一条边上，动点Ｐ在∠Ｃ的另一条边上，问点Ｐ在何处时，∠ＡＰＢ最大？

分析及证明如下：

过点Ａ、Ｂ作圆Ｏ，当圆Ｏ与∠Ｃ的另一边相切时，切点就是所求的点Ｐ（理论依据：圆周角大于圆外角）。

如图１，点Ｍ不与点Ｐ重合，连接ＭＡ、ＭＢ，ＭＡ交圆O于点Ｎ，则∠ＡＮＢ＞∠ＡＭＢ

又∵∠ＡＮＢ＝∠ＡＰＢ

∴∠ＡＰＢ＞∠ＡＭＢ

归纳：作过两定点的圆，该圆与动点所在直线的切点即是所求。

三、米勒问题及相关结论

已知点A、B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，则：点P在何处时，∠APB最大？

ON→悬杆所在直线，OM→地平面，P点→眼睛

结论：

定理：当且仅当△ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。

四、具体应用

下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用

1.如图，已知点A、B的坐标分别是（0,1）、（0,3），C是x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标为             。

解析过程：

2.在直角坐标系中，给定两点N（1,4），M（-1,2），在x轴的正半轴上求一点P，使∠MPN最大，则点P的坐标为             。

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