初中数学：几何-反比例函数图像与性质

一、反比例函数定义

定义：一般地，形如 (k为常数，k≠0，x≠0)的函数称为反比例函数。

二、反比例函数解析式

解析式： (k为常数，k≠0，x≠0)

反比例函数解析式的特征：

1.等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量 x，且指数为1。

2.比例系数k不等于0。

3.自变量 x 的取值为一切非零实数。（反比例函数有意义的条件：分母≠0）。

4.函数 y 的取值是一切非零实数。

5.反比例函数 y=k/x （k为常数，k≠0）中自变量 x 不等于0，函数值 y 不等于0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 

图像的画法：描点法

① 列表（应以o为中心，沿o的两边分别取三对或以上互为相反的数）

② 描点（有小到大的顺序）

③ 连线（从左到右光滑的曲线）

三、反比例函数性质

1.反比例函数的增减性（单调性）

当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小（单调减）；

当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大（单调增)；

当k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

2.反比例函数的对称性

反比例函数的图像是轴对称的，也是中心对称的。

（1）是中心对称图形，对称中心是原点

（2）是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 和 y=-x

3.比例系数 k 的几何含义：

反比例函数 y=k/x (k≠0) 中比例系数的几何意义：

在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|，

反比例函数上一点向x、y轴分别作垂线，分别交于x轴和y轴，则QOWM的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM，则RT△OMQ的面积=½|k|。

特殊的：

部分三角形可以通过同底等高来证明。

4.其他性质：

（1）图像上任意两点与原点构成的三角形的面积等于直角梯形的面积；

证明思路：

1.S三角形OAB=S梯形ABMN

S三角形AOM=S三角形OBN,剔除重复部分，可以得出不重复的部分相等，

加上S三角形OAB、S梯形ABMN重复部分，自然可以得知S三角形OAB=S梯形ABMN

2.图中S梯形OADC=S梯形ABCO

D、B分别向Y、X轴做垂线，可得构造的长方形面积均为|k|，剔除共有部分，非共有部分相等，其一半也相等。

S梯形OADC、S梯形ABCO共有的平行四边形，再加上非共有部分相等，所以面积相等。

以上只是简单的思路，具体可以查看这边的证明。点链接查看具体证明方法：https://yc8.com.cn/wenzhang/202305/2851.html

（2）反比例函数与一次函数相交时，存在线段相等的关系，坐标点关于原点对称的关系；

证明方法：

通过解析几何证明

（3）反比例与一次函数有交点时，可以联立求出交点坐标（二次联立可以求一元二次方程，反映方程根的个数问题）。

AB//CD