初中数学：三角形、四边形、圆常用辅助线作图方法

一、三角形中常见辅助线的添加

1.与角平分线有关的

（1）可向两边作垂线；

（2）可作平行线，构造等腰三角形；

（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。

2.与线段长度相关的

（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可；

（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可；

（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形；

（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

3.与等腰等边三角形相关的

（1）考虑三线合一；

（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60°。

二、四边形中常见辅助线的添加

1.和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。

（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形；

（2）利用两组对边平行构造平行四边形；

（3）利用对角线互相平分构造平行四边形。

2. 与矩形有关的辅助线作法

（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题。

（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题。和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。

3. 和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题。

（1）作菱形的高；

（2）连结菱形的对角线。

4. 与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多。解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。

5. 与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的 ，主要涉及以下几种类型：

（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；

（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；

（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；

（4）延长两腰构成三角形；

（5）作两腰的平行线等。

三、圆中常见辅助线的添加

1. 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：① 利用垂径定理；

② 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③ 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

2. 遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形

3. 遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点作用：利用圆周角的性质，可得到直径

4. 遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

5. 遇到有切线时常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）；作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。常常添加连结圆上一点和切点；作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

6. 遇到证明某一直线是圆的切线时

（1） 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。作用：若OA=r，则l为切线。

（2） 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：只需证OA⊥l，则l为切线。

（3） 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线。

7. 遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用：据切线长及其它性质，可得到① 角、线段的等量关系  ② 垂直关系  ③ 全等、相似三角形

8. 遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；② 内心到三角形三条边的距离相等。

9. 遇到三角形的外接圆时连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

10. 遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。作用：①利用切线的性质；②利用解直角三角形的有关知识。

11. 遇到两圆相交时常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。作用：①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；② 利用圆内接四边形的性质；③ 利用两圆公共的圆周的性质；④ 垂径定理。

12. 遇到两圆相切时常常作连心线、公切线。作用：①利用连心线性质；②切线性质等。

13. 遇到三个圆两两外切时常常作每两个圆的连心线；作用：可利用连心线性质。

14. 遇到四边形对角互补时常常添加辅助圆。作用：以便利用圆的性质。