与“布洛卡点”相关的数学模型
与“布洛卡点”相关的数学模型
一、定义
布洛卡点在1816年就已被德国数学家和数学教育家克雷尔初次发现。1875年，三角形的这一特殊点，被一个数学爱好者——法国军官布洛卡（Brocard，1845—1922）重新发现，并用他的名字命名。这才引起莱莫恩、图克（Tucker，1832—1905）等一大批数学家的兴趣，一时形成了一股研究“三角形几何”的热潮。据有人统计，在1875~1895这20年中，有关此方面的著述竟达600种之多。其间不少新的结果，都与布洛卡的名字联系在一起，因而有“布洛卡几何”一说的流传。
已知三角形ABC，P是内部一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，则P为布洛卡点，α为布洛卡角.有且仅有一点P'满足∠P'BA=∠P'CB=∠P'AC，则P'也是三角形的布洛卡点
一般地，对于任意三角形都有两个布洛卡角与两个布洛卡点，当三角形为正三角形时，两个布洛卡点重合。
①若∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，则称α为布洛卡角，点P称为第一（或正）布洛卡点；
②若∠CAP=∠ABP=∠BCP=β，则称β为布洛卡角，点P称为第二布洛卡点.
二、相关应用
解析：由于∠ABC=∠ACB，∠2=∠3，因此∠4=∠5，利用A.A判定更为简单。
解析：求tan∠ACP，首先先判定△ACP是否为直角三角形，根据背景中的相似三角形△PAB与△PCB之间线段的数量关系，寻找求PA:PC的桥梁。
解析：利用三角形内角和以及推导出∠BPC=90°，发现角之间的数量关系，进而得到∠4=∠5=∠6，得到P是△ABC的布洛卡点.
练习：
解析：本题的(1)参照例3，利用三角形内角和以及角之间的关系，证明∠ABP=∠CAP，进而证明两三角形相似；本题的(2)推导出∠BAC=60，利用比例线段之间的关系(参照例2)；本题的(3)进行分类讨论，利用比例线段之间的关系进行求解。
三、相关结论知识点（高中知识）
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