哥尼斯堡七桥（一笔画）问题

一、定义

18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如下图）。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。这个问题就是“哥尼斯堡七桥问题"。

二、解决思路

针对“哥尼斯堡七桥问题"，大数学家欧拉把它转化成一个几何问题——一笔画问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是：奇点的数目不是0个就是2个（连到一点的数目如果是奇数条，就称为奇点；如果是偶数条，就称为偶点。要想一笔画成，必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，奇点只可能在两端。因此任何图能一笔画成，奇点要么没有，要么在两端）

也就是要使得一个图形可以一笔画，必须满足如下两个条件：

1. 图形必须是连通的。

2. 图中的“奇点”个数是0或2。

这也就是欧拉回路关系

数学模型

为了更好地理解哥尼斯堡七桥问题，我们需要使用图论的基本概念来建立数学模型。在图论中，我们使用节点和边来表示问题中的连接关系。对于哥尼斯堡城市，我们可以将岛屿和岸边抽象为图中的节点，将桥梁抽象为边。通过这种方式，我们可以将问题转化为在图中找到一条路径，使得每个节点都恰好经过一次。每个节点用字母表示，每条边用灰色线段表示。图形显示了问题中的连接关系，帮助读者更好地理解问题。

哥尼斯堡七桥问题的解

通过观察哥尼斯堡的地理情况，哥尼斯堡七桥问题是无解的。

七桥问题和欧拉定理

欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为欧拉定理。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。

三、一笔画问题

一笔画

⒈ 凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

⒉ 凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

⒊ 其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以2便可算出此图需几笔画成。)