初中数学：二次函数存在性问题（一）

二次函数存在性问题中，特殊三角形的存在性问题一向是难点也是重点内容之一，该类问题通常考察以下几种类型：

1.等腰三角形的存在性问题，2.直角三角形的存在性问题‍‍，3.等腰直角三角形的存在性问题，4.平行四边形的存在性问题‍‍，5.相似三角形的存在性问题，6.角的存在性问题，7.面积存在性问题‍‍，8.线段存在性问题。

一、等腰三角形的存在性问题

分析：通过读题，不难求得A、B、C、D四点坐标，容易考虑到当△PAD是等腰三角形时，应该分情况考虑，但存在的问题是，点P是一个动点，如何确定点P的位置呢？

2.当DP=DA时，以点D为圆心，DA长为半径作圆，与直线BC相交于点P，并利用勾股定理构建等量建立方程求解即可；

解法二：两点间距离公式表示线段长构建方程的方法

解决问题时首先把△APD的三边AP、PD、AD利用两点间距离公式表示，然后分三种情况，分别构建方程求解即可。

二、直角三角形的存在性问题

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、C两点，（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，点P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P使△PBC为直角三角形？若存在，求出点P坐标，若不存在说明理由。

分析：通过读题，不难求得A、B、C三点坐标及抛物线对称轴，容易考虑到当△PBC是直角三角形时，P、B、C三点均有可能是直角顶点。点P是一个动点，如何确定点P的位置呢？

解法一：两线一圆构图确定点的位置、改斜归正转化横平竖直线段长

首先，把问题分为三类：∠PCB=90°、∠PBC=90°、∠BPC=90°

1.当∠PCB=90°时，过点C作PC⊥BC交抛物线对称轴于点P得平面直角坐标系内一斜直角，处理该类问题的常用方式是把两定点B、C，一动点P的坐标通过改斜归正的辅助线做法转化为横平竖直的线段长（横平的线段长，也称作水平宽，通常用两点横坐标的差的绝对值表示，竖直的线段长，也称作铅垂高，通常用两点纵坐标差的绝对值表示），从而有效的把函数问题与几何问题有机结合，顺利解决问题，所以不妨过直角顶点C作与y轴平行的直线，并分别过点P、B作该直线的垂线，构造一线三等角相似模型，得出PM:CM=CN:BN ,然后只需要用点B、C、P三点坐标表示这四条线段长建立等式即可解决问题（也可求直线PC解析式解决）；

2.当∠PBC=90°时，过点B作PB⊥BC交抛物线对称轴于点P得斜直角∠PBC，然后过点P作PM⊥y轴，改斜归正构造一线三等角相似模型，把点的坐标转化横平竖直的线段长建立等式解决问题（也可求直线PB解析式解决）；

3.当∠BPC=90°时，线段BC为斜边，此时可利用直径所对圆周角是直角的性质以BC为直径作圆确定点P的位置，然后改斜归正构造一线三等角模型解决问题。

解法二：两点间距离公式表示线段长构建方程的方法

类比等腰三角形的存在性问题处理方式，解决问题时首先把△PBC的三边PB、PC、BC利用两点间距离公式表示，然后分三种情况，结合直角三角形勾股定理的性质，分别构建方程然后解方程求解即可。

该种方法思路比较简单，但在特定情况下，构建方程时会出现高次方程，不便于解方程求解，需结合实际问题使用。

三、等腰直角三角形的存在性问题

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，点Q在直线x=-3上，是否存在以点P为顶点的等腰直角三角形△PBQ，若存在，求出点P的横坐标，若不存在说明理由。

解法分析：

通过读题，不难求得A、B、C三点坐标，点P、Q是两个动点，位置不确定，如何确定它们的位置是解决问题的一个难点。此时不妨通过草图分析，大体分两种情况：①直角顶点在BQ下方，②直角点P在BQ上方，结合上辑课讲到的直角三角形存在性问题的处理思路，容易考虑使用“改斜归正”的处理办法结合等腰直角三角形的特点构造一线三等角全等模型，从而顺利转化线段长建立等量。

具体解法如下：

四、平行四边形的存在性问题

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，点P是对称轴上一动点，点Q在抛物线上，是否存在以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由。

解法分析：

解法一：类比平移法

通过读题，不难求得点B（3，0）、C（0，-3）坐标，P、Q是两个动点，若以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，通常分两种情况：定线段BC为边、定线段BC为对角线，由平行四边形的性质可知，平行四边形的对边是平行且相等的，结合平移的性质考虑解决问题时把平行四边形问题转化为点的平移。

不妨设点P（1，m），只需用含m的代数式表示点Q坐标，然后代入抛物线解析式即可求出m值，进而求得点P坐标。当BC为边时，由点B、C坐标可知，点C（0，-3）向右平移3个单位长再向上平移3个单位长可得点B（3,0），点B（3，0）向左平移3个单位长再向下平移3个单位长得点C（0,-3），类比B平移到C或C平移到B的方法，便可用含m的代数式表示点Q坐标；

当BC为对角线时，相对较为复杂，此时把点C（0，-3）向右平移1个单位，向上平移m个单位可得 点P（1，m），反方向把点B（3，0）向左平移1个单位，向下平移m个单位可得点Q坐标为（2，-m）

这种利用平移解决问题方法关键在于参考已知点的平移，得出未知点的平移，结合草图正确表示点的坐标，相信你一定能顺利掌握。

解法二分析：全等三角形转移线段法

若以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，仍然分两种情况：定线段BC为边、定线段BC为对角线，当BC为边时，又有BC∥QP且CP∥BQ和BC∥PQ且CQ∥BP两种情况。

①当BC∥QP且CP∥BQ时，

过点Q作QM垂直直线x=3于点M，可得△QMP≌△BOC，把线段OB、OC长转化为线段QM、PM长，先求出点Q坐标，进而表示点出P坐标；

②当BC∥PQ，CQ∥BP时，

仍然过点Q作QM垂直直线x=3于点M，得△QMP≌△BOC，利用全等转化线段长表示点Q坐标进而表示出点P坐标；

③当BC为对角线时，

过点Q作QM⊥x轴于点M，过点C作CN垂直于直线x=1于点N，可得△QBM≌△CPN，同样先求出点Q坐标，再结合几何特征表示点P坐标。

这种解法构图比较复杂，但计算量小，优势也是很明显的，可多仔细体会。

解法三：中点坐标构建方程法

若以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，仍然分两种情况：定线段BC为边、定线段BC为对角线。当BC为边时，又分B、P相对和B、Q相对两种情况。

①当B、P相对时，

分别设出点P、Q坐标并根据中点坐标公式表示BP中点和CQ中点，然后建立等量解方程组可得点P坐标；

②当B、Q相对时,

同样表示BQ中点和CP中点建立等量解方程组可得点P坐标；

③当BC为对角线时，

相同办法表示BC中点和PQ中点解方程组即可。

这种利用中点坐标构建方程的方法不需要准确画出图形，只需正确考虑不同分类，但计算量比较大。

五、相似三角形的存在性问题

例题1：如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N，是否存在以P、C、N为顶点的三角形与△BMN相似若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由。

解法分析：

通过仔细读题，问题中的基本元素比如点A、B、C三点坐标，线段的长度，角的度数等容易得到，不妨在图形中进行标注，便于数形结合分析问题。在该问题中，当点P在直线BC下方的的抛物线上运动时，始终有∠CNP=∠BNM，因此，若以P、C、N为顶点的三角形与△BMN相似，需分两种情况：

1.△CNP∽△BNM

当△CNP∽△MNB时，∠PCN=∠BMN=90°，可构建一线三等角相似模型转化为△CDP∽△BOC，

由相似三角形的性质可得CD:BO=DP:OC，同样用点P坐标表示线段CD、DP长建立等量，解方程后求得点P坐标。

2.△CNP∽△MNB

由于△MNB∽△OCB，所以当△CNP∽△BNM时可转化为△CNP∽△BCO，

由相似三角形性质可得CP:BO=NP:OC,从而设点P坐标，表示线段CP、NP，建立等量可求点P坐标。

具体解法如下：

例题2：如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D在直线BC上，是否存在以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出点D坐标，若不存在，说明理由。

解法分析：通过读题，不难求得A、B、C三点坐标，点的坐标转化线段长可得线段BO、BC、BA的长度。点D在直线BC上，当点D进行运动时，容易发现∠OBD=∠ABC，所以，以B、O、D三点为顶点的三角形若与△BAC相似，必有两种情况：△BOD∽△BAC、△BOD∽△BCA

1.当△BOD∽△BAC时，由相似三角形的性质可得BO:BA=BD:BC，此时容易求得线段BD长，然后通过点D向x轴做垂线，构造△BDE与△BCO相似求得点D坐标；

2.当△BOD∽△BCA时

先由相似三角形性质得比例式BO:BC=BD:BA,求线段BD长，再次转化斜线段BD长得点D坐标，从而顺利解决问题。

具体解法如下：

通过上边两道问题的解法不难发现，当一个三角形固定而另一个三角形与之相似时，通常需要分类讨论，而分类时又要多注意公共角、对顶角、相等角的存在，合理利用相似三角形的性质求得线

六、角的存在性问题

例1.如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，已知点Q（0,-1），P是抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线，交BQ于点E，是否存在点P使得tan∠PBE=1/2.若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解法分析：通过审题可知所求∠PBE有一固定顶点，点E始终在定线段BQ上，∠PBE的正切是1/2，所以可取线段BQ中点并进行旋转，固定角的大小，确定角的另一边，另一边所在直线与抛物线的交点即为所求点，因此可取BQ中点F，先把点F绕点Q顺时针旋转90°至点G，构造直角△BQG，

然后通过“改斜归正”构造△BOQ∽△QMG,

转化线段长表示点G坐标，求得直线BG表达式，与抛物线解析式联立方程组可求得点P的一个坐标；

同样方法把线段BQ中点F逆时针旋转90°得点G，构造直角△BQG，

然后“改斜归正”构造△BOQ∽△QMG,

转化线段长表示点G坐标，求得直线BG表达式，与抛物线解析式联立方程组可求得点P的另一个坐标。

该类问题主要特点是所求角的三角函数值固定，所求角的顶点为定点，所求角的一边固定，主要的解题思路是利用固定的三角函数值构建直角三角形，然后依据图形特征解决问题。

例2.如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴交x轴于点E，连接BD、CD

（1）若线段BD上有一点P，∠DCP=∠BDE，求点P的坐标；

解法分析：

通过审题可知所求∠DCP有一固定顶点C，所求角的邻边DC，与之相等的∠BDE固定，而∠BDE的三角函数值可以确定，所以可采用例1的解题思路，取线段CD的中点F绕点D顺时针旋转90°至点G，构造直角△CDG，

然后“改斜归正”构造△CDN∽△DGM，

转化线段长表示点G坐标，求得直线CG表达式，与抛物线联立方程组可求得点P坐标。

例3.如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴交x轴于点E，连接BD、CD

（2）若抛物线上有一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使得∠CMN=∠BDE，求点M的坐标。

分析：通过审题可知所求∠CMN的顶点M不固定，点N始终在直线CD上，不便于作图确定点M位置，因此可把∠CMN=∠BDE相等转化为∠MCN=∠DBE，此时∠MCN的顶点固定，点N又始终在直线CD上，可采用例1、例2的方法，以C为顶点，CD或直线DC与x轴交点Q得到的CQ为一边构造直角三角形，

并让该直角三角形的两直角边的比值和对应的直角△DBE的直角边比值相等，然后“改斜归正”构造三角形相似并转移线段长表示点F坐标，

求得直线C解析式，与抛物线解析式联立方程组求得点M坐标。

例4：如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线上是否存在一点P，使得∠APB=∠ACO？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

分析：通过审题可知所求∠APB的顶点P不固定，角APB的对边固定，与之相等的∠ACO固定，因此可考虑以AB为底边构造等腰△ABM,使得顶角∠AMB=2∠ACO，然后以点M为圆心MA长为半径做圆，

根据同圆中同弧所对圆周角等于圆心角的一半可知，圆与抛物线的交点即为所求点P。根据题干条件可知线段AO=1,CO=3,AN=2,△AMN∽△ACO，所以可求得MN=6,进而利用勾股定理求得MA=2根10。

设点P坐标，以线段PM为斜边构造直角△PQM，利用勾股定理建立等式，解方程确定点P坐标。

该类问题主要特点是所求角的三角函数值固定，所求角的顶点为动点，所求角的对边固定，主要的解题思路是把固定边作为圆的弦，利用辅助圆构图确定所求点的位置，再结合圆半径相等构建等式确定点的坐标。

七、面积存在性问题

（一）边与坐标轴平行或在坐标轴上

该类型三角形面积的表示方法比较简单，通常选取在坐标轴上或与坐标轴平行的线段充当三角形的底边，然后利用三顶点坐标表示铅锤高度及水平宽度进行计算。

（二）边与坐标轴不平行

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是第四象限抛物线上一动点，连接BD、CD，求△BCD面积的最大值及点D坐标.

分析：对于这种边与坐标轴不平行的三角形面积的处理办法通常有三种，解法一：分割法，过点D做DE∥y轴交直线BC于点E，将△BDC分割成两个三角形，△CDE、△BDE，利用边与坐标轴平行的三角形面积的计算方法分别表示△CDE与△BDE的面积，进而表示△BCD面积。

归纳总结：

①分割三角形 ②利用铅垂高水平宽表示三角形面积 ③结合二次函数模型确定最值

温馨提示：两个概念，表示莫忘记！

解法二：组合法

连结DO，将四边形OCBD转化为△OCD与△OBD，分别计算△OCD、△OBD、△OBC的面积，利用四边形OCDB的面积减去△OBC面积解决问题。

解法三：切线法

由题意可知线段BC为固定值，当△BCD的边BC上高最大时，△BCD的面积一定最大，此时可通过点D作DK∥BC，当直线与抛物线只有一个公共点，即直线DK与抛物线相切时△BCD面积最大。

七、线段存在性问题

（一）线段最值之线段和最小问题

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点

（1） 在抛物线的对称轴上确定点P，使得PA+PC的值最小，并求出此时点P的坐标；

分析：根据题干条件，易求得点A（-1,0），B（3,0），C（0，-3），抛物线对称轴为直线x=1。点P是对称轴x=1上一动点，A、C是定点，典型的“将军饮马”问题，（“将军饮马”问题微课请看历史消息）解决该类型的思路是化同侧两点问题为异侧两点，结合“两点之间线段最短”解决问题，因此可连接BC与对称轴交点即满足PA+PC值最小，此时可求直线BC解析式，把x=1代入可得点P坐标。

解：连接BC交对称轴于点P，此时PA+PC值最小

在y=x²-2x-3中，令y=0，则x2-2x-3=0，

解得x1=-1,x2=3,∴A（-1,0）B（3,0）

令x=0,则y=-3，∴点C（0，-3）

设BC解析式为y=kx+b，

则,可得3k+b=0,b=-3,∴k=1,b=-3

∴直线BC解析式为：y=x-3

当x=1时，y=-2，∴点P（1，-2）

此时PA+PC=BC==3

（二）线段最值之线段之差最大

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点

（2）点Q是抛物线对称轴上一动点，当点Q坐标为多少时，|QA-QC|的值最大.

分析：根据题干条件，可得点A、B、C坐标依次为（-1,0），（3,0），（0，-3）。点Q为对称轴上一动点，A、C为定点，易知当Q、A、C三点不在同一直线上时，|QA-QC|＜AC；当Q、A、C三点在同一直线上时，|QA-QC|=AC，所以|QA-QC|≤AC，因此|QA-QC|的最大值即为线段AC长。此时，直线AC与对称轴x=1的交点即为所求点Q.

解：当Q、A、C三点不在同一直线上时，|QA-QC|＜AC；

当Q、A、C三点在同一直线上时，|QA-QC|=AC，

∴|QA-QC|≤AC，

做直线AC交对称轴x=1于点Q，此时|QA-QC|的值最大

设A、C解析式为y=kx+b，则

所以-k+b=0,b=-3 ∴k=-3,b=-3

∴直线AC解析式为：y=-3x-3

当x=1时，y=-6

∴点Q（1，-6）

（三）线段最值之线段值最大

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点,

（3）连接BC，点M是线段BC上一动点，过点M作MN∥y轴，交抛物线于点N,求线段MN的最大值及点N坐标。

分析：该问题中线段MN始终与y轴平行，在函数问题中这类线段称为铅垂高，解决此类问题的办法是利用点M、N横坐标相等的特性，设一点横坐标，从而表示线段解析式，利用二次函数最值解决。

解：在y=x²-2x-3中，令y=0，则x2-2x-3=0，

解得x1=-1,x2=3,∴A（-1,0）B（3,0）

令x=0,则y=-3，∴点C（0，-3）

设BC解析式为y=kx+b，

则,可得3k+b=0,b=-3

∴直线BC解析式为：y=x-3

设点M（m,m-3）,则N（m,m2-2m-3）

∴MN=-m2+3m=-(m-3/2)2+9/4

∵-1＜0 ∴m=3/2时MN最大为

此时点N（3/2,-9/4）

如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点N为第四象限内抛物线上一动点，求点N到线段BC的最大距离及点N的坐标。

（提示：过点N作ND⊥x轴，交BC于点D，表示ND解析式，然后利用sin∠NDM=sin∠ACB把ND转化为MN即可）

感谢 松松课堂