初中数学：二次函数存在性问题（二）

二次函数存在性问题中，特殊三角形的存在性问题一向是难点也是重点内容之一，该类问题通常考察以下几种类型：

1.等腰三角形的存在性问题，2.直角三角形的存在性问题‍‍，3.等腰直角三角形的存在性问题，4.平行四边形的存在性问题‍‍，5.相似三角形的存在性问题，6.角的存在性问题，7.面积存在性问题‍‍，8.线段存在性问题。

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9.正方形存在性问题，10.矩形、菱形存在性问题，11.45°角的存在性问题

（九）正方形存在性问题

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接BP，以BP为边在图示一侧作正方形BPMN，当顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时，求出对应的点P坐标。

解法分析：正方形是最完美的四边形，它的四条边相等、四个角是直角，把它放置在二次函数问题中与平面直角坐标系结合就会出现“斜直角”，而“斜直角”的处理方式通常为“改斜归正”，因此可以结合正方形四条边相等的特性去构造三角形全等。

当点M落在抛物线的对称轴上时，可通过过点P作PM⊥直线x=1于点E，作PF⊥x轴于点F，构造△PME≌△PBF，进而利用点P坐标表示线段PE、PF建立等量，解方程可求点P坐标；

当点N落在抛物线对称轴上时，可通过过点P作PF⊥x轴于点F，设对称轴交x轴于点G，构造△PBF≌△BNG，结合点B坐标及对称轴表示线段BG，进而根据PF=BG得出点P纵坐标，代入抛物线解析式求得点P横坐标即可。

具体解法如下：

（十）矩形、菱形存在性问题

解法分析：

类比平行四边形存在性问题的解法，解决问题时仍考虑分两类情况：定线段AC为边、定线段AC为对角线，由菱形的性质可知，菱形的四条边都是相等的，结合这一特性，可以考虑使用考虑“两圆”构图，准确做出图形，然后依据图形特征设计方案求解。

当AC为边时，考虑两圆构图，准确定位点P、Q位置，

然后做出对应菱形的形状，并根据图形特点设计求解方案。

当AC、AP为邻边时，过点P作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形APM，设点P坐标表示AM、PM，并根据AP=AC利用勾股定理建立方程求解；

当AC、CP为邻边时，根据菱形对角线互相垂直平分的性质可知CQ⊥AP，AE=PE,利用直线垂直k值积为负倒数的关系求出直线CQ解析式，联立方程组求得点E坐标，进而结合中点坐标可求点P坐标；

当AC为对角线时，利用“一线”的作图方式，准确确定点P、Q位置，利用直线垂直k值积为负倒数的关系由直线AC解析式求得直线PQ解析式，然后联立方程组求得点P坐标。

菱形存在性问题的这种解决思路，方法比较简单，需要在平行四边形基础上利用“两圆一线”构图，然后设计求解方案。

（十一）45°角存在性问题

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在点P使得∠APC=45°，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由。

解法一分析：构造辅助圆法

通过审题可知45°角的顶点P是一个动点，所求∠APC的两边不固定，无法旋转构造三角形全等转移线段长。此时考虑以所求角的固定对边AC为斜边构造等腰直角△ACF，（需注意的是此时不能默认点F就在对称轴上)

然后以点F为圆心，FA长为半径作圆，利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半可知，此时圆与对称轴的交点必满足∠APC=45°。

此时，可考虑依托斜直角∠AFC“改斜归正”构造△AGF≌△FHC，

设CH长为a，则BH=a+a+1,根据BH=OC，求得a=1，进而求得点F坐标为（1，-1），然后可根据半径FP=FA求出点P坐标。

解法二分析：一线三等角法

通过审题结合∠APC=45°的特殊性，可考虑以点A到对称轴的垂线段AE为直角边和以点C到对称轴的垂线段CG为直角边构造等腰直角三角形，

此时在对称轴上有∠APC=∠AFP=∠CHP=45°，可根据一线三等角模型得到△PAF∽△CPH，

进而得出比例式AF:PH=FP:CH，然后只需设点P坐标并分别表示线段AF、PH、FP、CH长，通过比例式建立方程进行求解即可得出点P坐标。