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初中数学:二次函数知识点

英才学习9个月前 (11-12)二次函数340

初中数学:二次函数知识点

一、二次函数的定义和表达形式

1、定义:

一般地,我们把函数表达式可以化简成y=ax2+bx+c(a≠0且a、b、c为常数)这样的形式的函数叫做二次函数。

例如:y=x2+2x-1、y=(x-2)2-1、y=(x-2)(x-1)等等。

2、表达形式:

①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0且a、b、c为常数)。

②顶点式:y=a(x-m)2+n(a≠0且a、m、n为常数)

③交点式:y=a(x-e)(x-f)(a≠0且a、e、f为常数)

【说明:只要二次函数图象与x轴有交点,即,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a、b、c为常数)有根,都能化成这样的形式】

二、二次函数的图象

通过观察二次函数的图象我们可以发现:

①二次函数y=ax2+bx+c(a≠0且a、b、c为常数)的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标(-b/2a,4ac-b2/4a),当x=-b/2a时,y最小/最大=4ac-b2/4a。

②它的自变量x的取值范围是x为全体实数,函数值y的取值范围是y≥4ac-b2/4a或者y≤4ac-b2/4a(视具体情况而定)。

③当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点。

④它与x轴的交点有三种情况:

(1)△=b2-4ac=0,它与x轴仅有一个交点,坐标为(4ac-b2/4a,0)。

(2)△=b2-4ac>0,它与x轴有两个交点,两根和为-b/a,两根积为c/a,两交点的距离为√△/|a|,证明如下:设两交点为(x1,0)、(x2,0)。

(x1+x22=b2/a2,x1.x2=c/a,|x1-x2|=√(x1-x22=√b2/a2-4c/a=√△/|a|。

(3)△=b2-4ac<0,它与x轴没有交点,函数值y恒大于0或者恒小于0。

⑤当|a|越大,抛物线的开口越小;当|a|越小,抛物线的开口越大。

⑥一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:

当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;

⑦常数项c决定抛物线与y轴的交点(0,c);


三、二次函数的性质和平移

1、函数的性质:

①二次函数y=ax2+bx+c(a>0且a、b、c为常数),当x≤-b/2a时,y随着x的增大而减小;当x≥-b/2a时,y随着x的增大而增大。

②二次函数y=ax2+bx+c(a<0且a、b、c为常数),当x≤-b/2a时,y随着x的增大而增大;当x≥-b/2a时,y随着x的增大而减小。

2、函数的平移:

左右平移:(左加右减)+上下平移:(上加下减)

设二次函数y=a(x-m)2+n(a、m、n≠0且a、m、n为常数),

它可以是由二次函数y=ax2(a≠0且a为常数)向左平移(m<0)或者向右(m>0)|m|个单位,在向上平移n(n>0)或者向下(n<0)|n|个单位。


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