初中数学：二次函数知识点

一、二次函数的定义和表达形式

1、定义：

一般地，我们把函数表达式可以化简成y=ax²+bx+c(a≠0且a、b、c为常数）这样的形式的函数叫做二次函数。

例如：y=x²+2x-1、y=(x-2)²-1、y=(x-2)(x-1)等等。

2、表达形式：

①一般式：y=ax²+bx+c(a≠0且a、b、c为常数）。

②顶点式：y=a（x-m）²+n(a≠0且a、m、n为常数）

③交点式：y=a(x-e)(x-f)(a≠0且a、e、f为常数）

【说明：只要二次函数图象与x轴有交点，即，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0且a、b、c为常数）有根，都能化成这样的形式】

二、二次函数的图象

通过观察二次函数的图象我们可以发现：

①二次函数y=ax²+bx+c(a≠0且a、b、c为常数）的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标（-b/2a，4ac-b²/4a），当x=-b/2a时，y最小/最大=4ac-b²/4a。

②它的自变量x的取值范围是x为全体实数，函数值y的取值范围是y≥4ac-b²/4a或者y≤4ac-b²/4a（视具体情况而定）。

③当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。

④它与x轴的交点有三种情况：

（1）△=b²-4ac=0，它与x轴仅有一个交点，坐标为（4ac-b²/4a，0）。

（2）△=b²-4ac＞0，它与x轴有两个交点，两根和为-b/a,两根积为c/a，两交点的距离为√△/|a|，证明如下：设两交点为（x₁,0）、（x₂,0）。

(x₁+x₂）²=b²/a²,x₁.x₂=c/a，|x₁-x₂|=√（x₁-x₂）²=√b²/a²-4c/a=√△/|a|。

（3）△=b²-4ac＜0，它与x轴没有交点，函数值y恒大于0或者恒小于0。

⑤当|a|越大，抛物线的开口越小；当|a|越小，抛物线的开口越大。

⑥一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；

⑦常数项c决定抛物线与y轴的交点（0，c）；

三、二次函数的性质和平移

1、函数的性质：

①二次函数y=ax²+bx+c(a＞0且a、b、c为常数），当x≤-b/2a时，y随着x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随着x的增大而增大。

②二次函数y=ax²+bx+c(a＜0且a、b、c为常数），当x≤-b/2a时，y随着x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随着x的增大而减小。

2、函数的平移：

左右平移：（左加右减）+上下平移：（上加下减）

设二次函数y=a（x-m）²+n(a、m、n≠0且a、m、n为常数），

它可以是由二次函数y=ax²（a≠0且a为常数）向左平移（m＜0）或者向右（m＞0）|m|个单位，在向上平移n(n＞0）或者向下（n＜0）|n|个单位。

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