初中数学：二次函数中涉及45度角问题的处理

一、题目背景及解题方法

二次函数背景下常常会出现45°，解决此类问题，往往有如下几种方法：

一是构造等腰直角三角形，利用45°角特有的性质，进而得到边之间的数量关系；

二是构造相似三角形，利用相似三角形中比例线段的性质或锐角三角比的性质进行转换，进而得到边、角的数量关系。

1. 角的顶点坐标已知

2. 角的顶点坐标未知

大致可以分为以下几种方法：构造“三垂直”法、构造一线三等角、构造辅助圆、构造“半角模型”等。

二次函数中与角有关的存在性问题,包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性,其他倍数关系角

二、具体案例分析

1.题型一：构造等腰直角三角形

1.

解法分析：本题是常规的锐角三角比的求法。可以通过过点B或过点A作高，但是可以发现∠B=45°，因此通过过点A作BC边上的高，构造出等腰直角三角形，求得相应的边的长度，得到∠ACB的正切值.

2.

解法分析：本题的(1)问围绕着平移前后a不变，代入A、B坐标后得到解析式；本题的(2)问利用∠ABC=45°，构造等腰直角三角形，利用面积法求出相应的高，继而求出∠CAD的正弦值；问题的(3)问围绕菱形的各边相等，抓住较小内角为45°，构造等腰直角三角形求出点Q坐标.

3.

解法分析：

本题的(1)问通过过点B作x轴的垂线得到A点坐标，继而代入求得抛物线的表达式；

本题的第(2)问通过角之间的关系转化，得到BM//x轴，得到M的坐标，联立PM和AB所在直线求出点P的坐标；

本题的第(3)问通过构造直角三角形，利用锐角三角比，利用面积的数量关系，继而得到MN和CN的数量关系.

题型二：构造相似三角形

解法分析：本题的关键是发现∠DAB=∠AOB=45°，则通过延长AD交BO于E，构造△ABE∽△AOB，得到E点坐标，根据AE解析式及x=2，得到点D坐标.

解法分析：本题的关键是发现∠BPD=∠PAD，构造共边共角型相似三角形：△PBD∽△PBA，得到P点坐标.

解法分析：本题的关键是利用∠ACB=∠DCE及相关的45°角构造相似三角形，本题有3种不同的方法进行辅助线的添加。解法1和解法2构造相似三角形，解法3利用角平分线分线段成比例定理添加辅助线.

解法分析：本题的(1)问就是简单的求二次函数解析式；本题的(2)问在于发现∠OBA=∠BPQ=45°，继而得到△BOP∽△BQP，得到PQ的长度；本题的(3)问是等腰三角形的存在性分类讨论，抓住BPQ=45°进行分类讨论。

题型三：构造一线三等角模型