初中数学：一元二次函数定义及性质

一、定义

一般地，把形如y=ax²+bx+c（a≠0）（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，

其中a称为二次项系数（a≠0），b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

二次函数的图像是一条抛物线。 

二、表达式

二次函数的三种表达式，具体如下：

一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)²+k [抛物线的顶点P（h，k）] 

交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a，k=(4ac-b2)/4a，x1,x2=(-b±√b2-4ac)/2a

函数图像与x轴交于 和 两点。

三、开口

二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a>0时，二次函数图像向上开口；

当a<0时，抛物线向下开口。

▕a▏还可以决定开口大小：▕a▏越大开口就越小,▕a▏越小开口就越大.

四、性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 。

2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b2)/4a ]。当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。 

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。Δ= b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。 

五、对称关系

对于一般式：

1.y=ax²+bx+c与y=ax²-bx+c两图像关于y轴对称

2.y=ax²+bx+c与y=-ax²-bx-c两图像关于x轴对称

3.y=ax²+bx+c与y=-ax²-bx+c-b²/2a关于顶点对称

4.y=ax²+bx+c与y=-ax²+bx-c关于原点中心对称。（即绕原点旋转180度后得到的图形）

对于顶点式：

1.y=a(x-h)²+k与y=a(x+h)²+k两图像关于y轴对称，即顶点(h, k)和(-h, k)关于y轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。

2.y=a(x-h)²+k与y=-a(x-h)²-k两图像关于x轴对称，即顶点(h, k)和(h, -k)关于x轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。

3.y=a(x-h)²+k与y=-a(x-h)²+k关于顶点对称，即顶点(h, k)和(h, k)相同，开口方向相反。

4.y=a(x-h)²+k与y=-a(x+h)²-k关于原点对称，即顶点(h, k)和(-h, -k)关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。

（其实134就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况）

六、二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax²+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

画抛物线y＝ax²时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。