对于实数a,b,且a̸=b,定义为a,b的指数平均数,则.

证明：

先证指数平均不等式的右边,如下：

不妨设a＞b,即a-b＞0,ea-eb＞0,要证不等式的右边,即证a-b＞,则证换元,令a-b=t＞0,所以需证构造函数即证f(x)＞ 0.求导得即f(x)为(0,+∞)上的增函数,则f(x)＞f(0)=0,不等式右边得证,

同理可证不等式左边.

综上述所,指数平均不等式链得证.

上述指数平均不等式有着优美的几何意义,即“无字证明”,如下：

图1

图2

如图1,曲边梯形面积大于直角边梯形面积,即S曲梯 ＞ S直梯,所以,即ea-eb＞则故不等式左边得证;

如图2,直角边梯形面积大于曲边梯形面积,即S曲梯 ＜ S直梯,所以,即ea-eb＜,则,故不等式右边得证.

综上述所,指数平均不等式链得证.