高中数学：不等式 - 对数均值不等式

一、对数平均不等式的含义

对数平均数的定义

两个正数a,b的对数平均数定义为

这个对数平均数，正好处于几何平均数和算术平均数的中间！

二、不等式的证明

首先当a=b时，结论显然成立。

因此我们不妨设a≠b，

（1）我们先考虑右边：

我们现在设,则x>1，则，所以函数f(x)在区间单调递增，故f(x)=0，从而不等式右边成立。

（2）下面再证明不等式左边

由于

在设，则x >1,且等价于.

因此构造函数

则

,又因为x>1,，

,所以g(x)在区间单调递减，从而不等式左边也成立。

综上所述

恒成立。因此对数平均不等式 （A-L-G不等式） 成立。