Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式是关于 Sobolev 空间的一种不等式，它是 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式的一个推广。设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个开集，$1<p,q<n$，$0<\alpha<n/p$，$s=\frac{n}{p}-\alpha$，则对于所有的 $u\in W^{s,p}(\Omega)$，Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式可以表示为：

$$|u|{L^q(\Omega)} \leq C |u|{W^{s,p}(\Omega)}^{\theta} |\nabla u|_{L^p(\Omega)}^{1-\theta}$$

其中 $C$ 和 $\theta$ 是常数，取决于 $n,p,q,\alpha$ 和 $\Omega$，且 $0<\theta<1$。

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式是非线性偏微分方程和调和分析中的一个基本工具。在实际应用中，它常常被用于估计 Sobolev 空间中的函数的 $L^q$ 范数，给出了 Sobolev 空间中函数的光滑性与其导数的关系。