高中数学：不等式 - 琴生不等式

琴生不等式也叫詹森不等式，琼森不等式，是一个非常著名的不等式，有了它，我们可以推导出其他一些著名不等式，比如幂平均不等式、杨格不等式（Young Inequality），赫尔德不等式（Hölder Inequality），闵可夫斯基不等式（Minkowski Inequality）。我们最常见的平均不等式（或叫均值不等式）也可以从它推出。

琴生不等式在证明不等式中发挥了巨大的作用。它实质上就是对凸函数性质的应用，它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系，能够很好的为高中数学压轴证明题服务。

一、定义公式

1.若f(x) 是区间[a,b] 上的下凸函数，则对任意的x₁,x₂,x₃,...x_n∈[a,b]，有不等式:

当且仅当x₁=x₂=x₃=...=x_n 时等号成立。

2.其加权形式为：

若f(x) 是区间[a,b] 上的下凸函数，则对任意的x₁,x₂,x₃,...x_n∈[a,b]且a₁+a₂+a₃+...+a_n=1 ，

x₁,x₂,x₃,...x_n为正数，有

当且仅当x₁=x₂=x₃=...=x_n 时等号成立。

变相公式

其中：

前面两个取f(x)=x^t就可以了

后面一个取f(x)=log(x)就可以了。

二、凸函数

1.凸函数定义

设 K 是 Rⁿ中的凸集，f:K→R¹ ，若对于任意的x,y ∈ K,λ ∈[0,1],有f(λx+(1-λ)y) ≤λf(x)+(1-λ)f(y)

则称f为K上的凸函数;若以上不等式中不等号是严格的，则称f为严格凸函数:若函数(一f)是凸函数，则称f是凹函数;若f既是凸函数又是凹函数，则称f为仿射函数。

2.几何意义

凸函数有明显的几何意义，以R中的凸函数为例，若f是凸函数，

则曲线y=f(x)上任意两点的连线必不在此两点的曲线段之下。

具体可以见下图：

3.凸函数性质

函数f(x)定义在开区间(a,b)上。设λ1和λ2是正实数，λ₁+λ₂=1。若对于开区间(a,b)上的任意两点x₁和x₂，都有：

f(λ₁x₁+λ₂x₂)≤λ₁f(x₁)+λ₂f(x₂)

当且仅当x1=x2时等号成立

函数f(x)是定义在开区间(a,b)上的凸函数。设λ₁, λ₂, ··· , λ_n是n个正实数，λ₁+λ₂+···+λ_n=1。x₁, x₂, ··· , x_n 是开区间(a,b)上任意n个点，则下面不等式成立：

f(λ₁x₁+λ₂x₂+...+λ_nx_n)≤λ₁f(x₁)+λ₂f(x₂)+...+λ_nf(x_n)

当且仅当x₁=x₂=...=x_n时等号成立

这个不等式称为琴生不等式。（注意，对于凹函数（上凸函数），上面(7)式中的“≤”变为“≥”，也是琴生不等式。